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Riga 1: ~~{{F\|matematica\|ottobre 2011}}~~ In [[analisi matematica]], una [[funzione (matematica)\|funzione]] '''uniformemente continua''' è un caso speciale di [[funzione continua]]. Intuitivamente una funzione <math>f</math> è uniformemente continua se una piccola variazione del punto <math>x</math> comporta una piccola variazione dell'immagine <math>f(x)</math> (quindi <math>f</math> è continua), e la misura della variazione di <math>f(x)</math> dipende solo dalla misura della variazione di <math>x</math>, ma ''non'' dal punto <math>x</math> stesso. Line 5 ⟶ 4: == Definizione == ~~=== Funzione reale di variabile reale ===~~ Nel caso specifico di una funzione <math>f:I \to \mathbb{R}</math>, dove <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> è un [[intervallo (matematica)\|intervallo]], si dice che <math>f</math> è uniformemente continua se per ogni numero reale <math>\varepsilon > 0</math> esiste un numero reale <math>\delta > 0</math>, tale che per ogni <math>x_1, x_2 \in I</math> con <math>\|x_1 - x_2\| < \delta</math> (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha :<math>\|f(x_1) - f(x_2)\| < \varepsilon</math>. Diversamente dalla continuità semplice la distanza <math>\delta</math> dipende quindi unicamente dalla distanza <math>\varepsilon</math> e ''non'' dal punto <math>x_1</math> o <math>x_2</math>. ~~=== Funzione di spazi metrici ===~~ La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: Dati due [[spazio metrico\|spazi metrici]] <math>(X, d_X)</math> e <math>(Y, d_Y)</math>, si dice che una funzione <math>f:X \to Y</math> è uniformemente continua se :<math>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ : \quad \forall x_1, x_2 \in X, \quad d_X(x_1,x_2) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \varepsilon</math>. == Esempi == [[Immagine:Sin1over x.svg\|right\|thumb\|300px\|LaGrafico della funzione <math>\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>, che non è uniformememte continua in <math>(0,1]</math>.]]▼ ~~Sono funzioni continue ma ''non uniformemente continue'':~~ Esempi Ledi funzioni uniformemente continue sono la [[funzione costante]], l'[[funzione identità\|identità]] o una qualsiasi [[funzione lineare]]; altri esempi sono le [[funzione derivabile\|funzioni derivabili]] in un [[insieme convesso\|convesso]] la cui derivata è limitata (~~quindi~~ad esempio le funzioni [[seno (matematica)\|seno]] e [[coseno]]).▼ La funzione ~~:<math>f:(0,1) \to \mathbb{R},\ x \mapsto \frac{1}{x}</math>~~ ~~infatti per ogni <math>\delta > 0</math> si possono trovare <math>x_1, x_2 \in (0,\delta)</math> così che <math>\|f(x_1) - f(x_2)\|</math> diventi addirittura arbitrariamente grande.~~ Al contrario, i [[polinomio\|polinomi]] di grado maggiore di 1 non sono funzioni uniformemente continue sull'intera retta reale, sebbene lo siano sugli insiemi limitati: data ad esempio la funzione <math>f(x)=x^2</math>, infatti, per ogni <math>\delta>0</math> la differenza <math>f(x+\delta)-f(x)=(x+\delta)^2-x^2=2\delta x+\delta^2</math> tende ad infinito per <math>x\to\infty</math>. ▲[[Immagine:Sin1over x.svg\|right\|thumb\|300px\|La funzione <math>\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>]] La funzione limitata ~~:<math>f:(0,1) \to \mathbb{R},\ x \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>~~ ~~perché in ogni intervallo <math>I := (0,\delta)</math> si possono trovare <math>x_1, x_2 \in I</math> con <math>\|f(x_1) - f(x_2)\| = 2</math>.~~ Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che la funzione <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> non è uniformemente nell'intervallo <math>(0,1]</math>, mostrando che funzioni continue su un limitato non sono necessariamente uniformemente continue. Neppure aggiungendo l'ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue: ad esempio la funzione <math>f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> (sempre nell'intervallo <math>(0,1]</math>) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo <math>(0,\delta)</math> si possono trovare <math>x_1,x_2\in I</math> tali che <math>\|f(x_1)-f(x_2)\|=2</math>. == Condizioni ~~necessarie o~~ sufficienti per la continuità uniforme ==▼ ~~Sono funzioni ''uniformemente continue'':~~ Il [[teorema di Heine-Cantor]] afferma che le funzioni continue su un [[insieme compatto\|compatto]] (in <math>\mathbb{R}</math>, un intervallo chiuso e limitato) sono uniformemente continue; il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda (per <math>x\to\pm\infty</math> ad un [[limite (matematica)\|limite]] finito oppure ammetta un [[asintoto]] obliquo. La [[funzione costante]] * La [[funzione identità]] * Le [[funzione lineare\|funzioni lineari]] ▲* Le [[funzione derivabile\|funzioni derivabili]] in un [[insieme convesso\|convesso]] la cui derivata è limitata (quindi le funzioni [[seno (matematica)\|seno]] e [[coseno]]) ~~Ogni~~Inoltre, ogni [[funzione lipschitziana]] <math>f</math> è uniformemente continua: dato <math>\varepsilon > 0</math>, si può scegliere <math>\delta := \varepsilon / K</math>, dove <math>K > 0</math> è una costante di Lipschitz di <math>f</math>~~. ''Non'' vale il viceversa~~.▼ ==== Esempio ====▼ ▲== Condizioni necessarie o sufficienti per la continuità uniforme == ~~=== Teorema di Heine-Cantor ===~~ Generalmente non ogni funzione continua è uniformemente continua, però nel caso specifico di un dominio [[compatto]] (per esempio un intervallo chiuso finito), il [[teorema di Heine-Cantor]] afferma che la continuità equivale alla continuità uniforme. ~~=== Lipschitzianità ===~~ ▲Ogni [[funzione lipschitziana]] <math>f</math> è uniformemente continua: dato <math>\varepsilon > 0</math>, si può scegliere <math>\delta := \varepsilon / K</math>, dove <math>K > 0</math> è una costante di Lipschitz di <math>f</math>. ''Non'' vale il viceversa. ▲==== Esempio ==== Si prenda <math>f(x) = x^{\frac{1}{3}}</math>. Line 50 ⟶ 33: Combinando questi risultati, otteniamo che <math>f(x)</math> ''è'' uniformemente continua in <math>\mathbb{R}</math>, pur ''non essendo'' lipschitziana. === ~~Asintoti~~Altre ~~all'infinito~~proprietà === ~~Se una~~Una funzione uniformemente continua ~~definita su~~in un ~~intervallo~~insieme ~~illimitato~~<math>X</math> lo è anche in ~~del~~ogni ~~tipo~~sottoinsieme <math>~~A=[a,+~~E\~~infty)~~subseteq X</math>; ~~ammette~~non unvale il ~~[[asintoto]]~~viceversa (~~obliquo~~ad odesempio, ~~orizzontale~~<math>f(x) ~~allora~~= x^2</math> è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati). ~~=== Sottoinsiemi e sovrainsiemi ===~~ Una funzione uniformemente continua in un insieme X lo è anche in ogni sottoinsieme E di X; non vale il viceversa (si pensi a <math>f(x) = x^2</math>, che è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati). ~~=== Altre proprietà ===~~ L'immagine di un [[intervallo (matematica)\|intervallo]] limitato secondo una funzione uniformemente continua è limitato. == ~~Voci correlate~~Bibliografia == {{cita libro\|autore=Enrico Giusti\|titolo=Analisi matematica 1\|editore=Bollati Boringhieri\|edizione=terza\|\|anno=2002\|id=ISBN 88-339-5684-9}} == Voci correlate == [[Spazio uniforme]]

Continuità uniforme: differenze tra le versioni