Curva piana: differenze tra le versioni

In [[matematica]] una '''curva piana''' è una [[curva (matematica)|curva]] che giace interamente in un (unico) piano ed è identificabile da una [[funzione continua]] <math>\alpha: I \longrightarrowto \R^2</math>, dove <math>I</math> è un [[intervallo (matematica)|intervallo]] nell'insieme dei [[numeri reali]]. Ad esempio, una curva su uno [[spazio euclideo]] di dimensione maggiore di 2 è piana se il suo supporto giace su un piano contenuto nello spazio euclideo in cui è definita.

cioè come funzione di due variabili indipendenti. QuestaSebbene questa rappresentazione è,sia sottoper alcunialcune punti di vista,finalità migliore di quella esplicita; però, si possono incontrare problemi quando è necessario esplicitare una variabile in funzione dell'altra:, spessocosa ciòche non è arduo,nemmeno quando non èsempre impossibilepossibile.

Data una curva <math>\alpha : I \longrightarrowto \R^2</math> differenziabile e una funzione <math>t = t(s)</math> definita sull'intervallo <math>S \longrightarrowto I</math> allora la curva:

:<math>\beta = \alpha \circ t : S \longrightarrowto \R^2</math>

tale che per ogni <math>s \in S \longrightarrowto \beta(s) = \alpha(t(s)),</math> è una riparametrizzazione della curva <math>\alpha</math>. La riparametrizzazione è regolare se: <math>t(S) = I</math> e se <math>t'(s) \ne 0</math>.

Sia <math>\beta(s)</math> una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e <math>\beta'(s)</math> il suo versore tangente. Si considera la funzione <math>k(s) : S \longrightarrowto \R</math> che associa ad ogni <math>s \in S</math> il valore <math>k(s) = \| \beta'(s) \|</math>. La funzione <math>k(s) \ge 0</math> è la curvatura della curva.