Gruppo di Poincaré: differenze tra le versioni
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In [[fisica]] ed in [[matematica]] il '''gruppo di Poincaré''' è il gruppo di [[isometria|isometrie]] dello [[spazio-tempo di Minkowski]]. Si tratta del [[prodotto semidiretto]] delle traslazioni e delle [[trasformazioni di Lorentz]], ed è un [[gruppo di Lie]] non [[Gruppo topologico|compatto]] a 10 dimensioni.
Il [[gruppo abeliano]] di traslazioni è un ''sottogruppo normale'' mentre il [[gruppo di Lorentz]] è un sottogruppo, uno ''stabilizzatore'' di un punto.▼
L''''algebra di Poincaré''' è l'[[algebra di Lie]] del gruppo di Poincaré.
▲Il [[gruppo abeliano]] di traslazioni è un
Si può anche definire il gruppo di Poincaré come un gruppo di estensione del gruppo di Lorentz determinato dalla sua rappresentazione vettoriale. Le sue rappresentazioni di energia positiva unitaria sono indicate dalla [[massa (fisica)|massa]] (numero non negativo) e dallo [[spin]] (intero o mezzo) e, nella [[meccanica quantistica]] sono associate a particelle.
In accordo con il programma di Erlangen, la geometria dello [[Spaziotempo di Minkowski|spazio di Minkowski]] è definita dal gruppo di Poincaré: lo
==Definizione==
Il gruppo di Poincaré è il [[Gruppo (matematica)|gruppo]] delle [[isometria|isometrie]] dello [[spaziotempo di Minkowski]]. Si tratta di un [[gruppo di Lie]] non [[spazio compatto|compatto]] a 10 dimensioni, ed è un sottogruppo minimale del gruppo delle [[Trasformazione affine|trasformazioni affini]] invertibili da uno spazio in sé stesso. Più precisamente, il gruppo di Poincaré è un [[prodotto semidiretto]] delle traslazioni e del [[gruppo di Lorentz]]:
:<math>\mathbf{R}^{1,3} \rtimes O(1,3) </math>
L'algebra di Poincaré è l'algebra di Lie del gruppo di Poincaré, ed è data dalle relazioni di [[commutatore|commutazione]]:
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* <math>[M_{\rho\sigma}, M_{\mu\nu}] \,= i ( \, \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho} )</math>
dove il vettore <math>P</math> è il generatore delle traslazioni, il tensore <math>M</math> è il generatore delle trasformazioni di Lorentz e il tensore <math>\eta</math> è la metrica di
==Trasformazioni di Lorentz in configurazione standard==
{{vedi anche|Trasformazioni di Lorentz}}
Una trasformazione di Lorentz
:<math>
Line 30 ⟶ 37:
</math>
dove:
: <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
è chiamato
:<math>x^\mu = \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}</math>
Line 60 ⟶ 67:
\begin{bmatrix}
c t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
</math>
Line 67 ⟶ 74:
:<math>ds^2 = (cdt)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \ </math>
che è quindi un
== Bibliografia ==
*{{Cita libro | autore=Artin, Emil | titolo=Geometric Algebra | città=New York | editore=Wiley | anno=1957 | id=ISBN 0-471-60839-4}} ''See Chapter III'' for the orthogonal groups O(p,q).
*{{Cita libro | autore=Carmeli, Moshe
Line 78 ⟶ 84:
|id=ISBN 0-07-009986-3}} A canonical reference; ''see chapters 1-6'' for representations of the Lorentz group.
*{{Cita libro | autore=Frankel, Theodore | titolo=The Geometry of Physics (2nd Ed.) | città=Cambridge | editore=Cambridge University Press | anno=2004 | id=ISBN 0-521-53927-7}} An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
*{{Cita libro | autore=Hall, G. S. | titolo=Symmetries and Curvature Structure in General Relativity | città=Singapore | editore=World Scientific | anno=2004 | id=ISBN 981-02-1051-5}} ''See Chapter 6'' for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
*{{Cita libro | autore=Hatcher, Allen | titolo=Algebraic topology | città=Cambridge | editore=Cambridge University Press | anno=2002 | id=ISBN 0-521-79540-0}} ''See also'' the {{Cita web | titolo=online version | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | accesso=July 3 | accessyear=2005 }} ''See Section 1.3'' for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. ''See Section 3D'' for the topology of rotation groups.
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