Teorema del gradiente: differenze tra le versioni
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==Dimostrazione==
Sia <math>\varphi</math> una [[funzione differenziabile]] da un aperto <math>U \subset \R^n</math> a valori in <math>\R</math>, e sia <math>\mathbf r:[a,b] \to U</math> una funzione differenziabile <math>U \subset \R^n</math>. Allora per la [[regola della catena]] la [[funzione composta|composizione]] <math>\varphi \circ \mathbf r</math> è differenziabile su <math>(a,b)</math>, e:
:<math>\frac{d}{dt}(\varphi \circ \mathbf{r})(t)=\nabla \varphi(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \qquad \forall t \in (a,b)</math>
Si supponga che il dominio <math>U</math> di <math>\varphi</math> contenga la curva differenziabile <math>\gamma</math> da <math>\mathbf p</math> a <math>\mathbf q</math>. Se <math>\mathbf r</math> parametrizza <math>\gamma</math> con variabile <math>t \in [a,b]</math> allora per quanto detto sopra:
:<math>\begin{align}
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