Teorema del gradiente: differenze tra le versioni

: <math> \phivarphi\left(\mathbf{q}\right)-\phivarphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\Sigmagamma} \nabla\phivarphi\cdot d\mathbf{r} </math>

dove <math>\Sigmagamma</math> è una curva qualsiasi orientata da <math>\mathbf p</math> a <math>\mathbf q</math>.

Il teorema è una generalizzazione del [[teorema fondamentale del calcolo]] ad una curva qualsiasi, invece che ad un segmento della retta reale. Per mostrare che si tratta di un caso particolare del [[teorema di Stokes]] si considera un campo scalare <math> \phi</math> e una curva <math>\Sigmagamma</math> da <math>\mathbf p</math> a <math>\mathbf q</math>. Si ha:

: <math> \int_{\partial \Sigmagamma} \phivarphi = \int_{\Sigmagamma} d\phivarphi </math>

ma dato che <math> \partial \Sigmagamma</math> si riduce alla coppia costituita dai due estremi della curva:

: <math> \phivarphi \left(\mathbf{q}\right) - \phivarphi \left(\mathbf{p}\right) = \int_{\Sigmagamma} d\phivarphi = \int_{\Sigmagamma} \nabla\phivarphi \cdot d\mathbf{r}</math>