Differenziale (matematica): differenze tra le versioni
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:<math>d y(x,d x) = f'(x) d x</math>
dove <math>f'</math> denota la [[derivata]] di <math>f</math> rispetto a <math>x</math>, ovvero il limite del [[rapporto incrementale]] <math>
Più semplicemente il differenziale di una funzione derivabile f(x) in Ix (insieme di esistenza), non è altro che il prodotto dell' incremento della variabile indipendente per la derivata della funzione stessa.
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==Differenziale in più variabili==
Data una funzione <math> y = f(x_1,\dots,x_n)</math>, il ''differenziale parziale'' di <math>y</math> rispetto ad ognuna delle variabili <math>x_1,\dots,x_n</math> è <math>
: <math> dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n </math>
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dove <math>\Delta^n_{t\Delta x} f</math> è una [[differenza finita]] in avanti con incremento <math>t\Delta x</math>. Tale definizione ha senso anche per una <math>f</math> di più variabili.
[[Immagine:DifferentialOnAManifold.png|right|frame|[[Pull-back|Push-forward]] di una curva]]▼
==Differenziale per mappe su varietà==
▲[[Immagine:DifferentialOnAManifold.png|right|frame|Push-forward di una curva]]
Si considerino due [[varietà differenziabile|varietà lisce]] <math>M</math> e <math>N</math>, ed una funzione <math>f:M \to N \in C^\infty</math>. Si può definire il differenziale <math>df_m</math> di <math>f</math> in <math>m \in M</math> come l'applicazione lineare dallo [[spazio tangente]] <math>T_m^M</math> a <math>M</math> in <math>m</math> allo spazio tangente <math>T_{f(m)}^N</math> a <math>N</math> in <math>f(m)</math> che manda <math>v \in T_m^M</math> in <math>df_m(v) \in T_{f(m)}^N</math>, con:
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