Operatore di Laplace: differenze tra le versioni
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:<math>\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2_1 } + {\partial^2 \over \partial x^2_2 } + \dots = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial x^2_i}</math>
===Legendriano===▼
Un'altra forma del laplaciano in coordinate sferiche è:▼
:<math>\nabla^2 = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} \left( \wedge^2 \right)</math>▼
Dove <math>\wedge^2</math>, chiamato ''legendriano'' (da [[Adrien-Marie Legendre]]), è la parte angolare del Laplaciano. Questa forma viene utilizzata nella [[meccanica quantistica]] per il calcolo dell'hamiltoniano nel caso della rotazione in tre dimensioni di una particella, ed è definita come:▼
:<math> \wedge^2 = {1 \over \mathrm{sen}^2 \theta} {\partial^2 \over \partial \phi^2} + {1 \over \mathrm{sen} \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \mathrm{sen} \theta {\partial \over \partial \theta} \right) </math>▼
Questa rappresentazione è molto importante perché consente il metodo della separazione della variabili, nell'[[equazione differenziale alle derivate parziali]], che si deve calcolare per risolvere l'[[equazione di Schrödinger]], per il caso appunto di una particella che si muove sulla superficie di una [[sfera]].▼
== Generalizzazioni ==
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\left( r {\partial \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2} {\partial^2 \over \partial \theta^2} </math>
▲===Legendriano===
▲Un'altra forma del laplaciano in coordinate sferiche è:
▲:<math>\nabla^2 = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} \left( \wedge^2 \right)</math>
▲Dove <math>\wedge^2</math>, chiamato ''legendriano'' (da [[Adrien-Marie Legendre]]), è la parte angolare del Laplaciano. Questa forma viene utilizzata nella [[meccanica quantistica]] per il calcolo dell'hamiltoniano nel caso della rotazione in tre dimensioni di una particella, ed è definita come:
▲:<math> \wedge^2 = {1 \over \mathrm{sen}^2 \theta} {\partial^2 \over \partial \phi^2} + {1 \over \mathrm{sen} \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \mathrm{sen} \theta {\partial \over \partial \theta} \right) </math>
▲Questa rappresentazione è molto importante perché consente il metodo della separazione della variabili, nell'[[equazione differenziale alle derivate parziali]], che si deve calcolare per risolvere l'[[equazione di Schrödinger]], per il caso appunto di una particella che si muove sulla superficie di una [[sfera]].
===3 dimensioni===
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:<math> \nabla^2 \mathbf f=\mathbf{u}_{x}\nabla^2 f_{x} + \mathbf{u}_{y}\nabla^2 f_{y} + \mathbf{u}_{z}\nabla^2 f_{z} </math>
In coordinate sferiche, con la parametrizzazione
:<math> \Delta f
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