Wikipedia

Campo vettoriale conservativo: differenze tra le versioni

Naviga nella cronologia in modo interattivo
← Differenza precedenteDifferenza successiva →
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
VisualeWikitesto
mNessun oggetto della modifica
Riga 8:
:<math>\mathbf{V} = \nabla U</math>
 
dove <math>\nabla</math> è l'operatore [[gradiente]]. Se <math>U</math> esiste, è detto potenziale scalare per il campo <math>V</math>. Il [[Teoremateorema di Helmholtz]] afferma che ogni campo vettoriale può essere espresso come la somma di un campo vettoriale conservativo e un [[campo vettoriale solenoidale]].
 
Nel caso di un sistema di riferimento cartesiano <math>\mathbf{V}: A \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3</math>, <math>U: A \rightarrow \mathbb{R}</math> e la scrittura per esteso del campo è:
 
:<math>V_x(x,y,z) = \frac{\partial U}{\partial x}(x,y,z) \qquad V_y(x,y,z) = \frac{\partial U}{\partial y}(x,y,z) \qquad V_z(x,y,z) = \frac{\partial U}{\partial z}(x,y,z)</math>
 
:<math>V_y(x,y,z) = \frac{\partial U}{\partial y}(x,y,z)</math>
 
:<math>V_z(x,y,z) = \frac{\partial U}{\partial z}(x,y,z)</math>
 
In tal caso <math>U</math> viene detto [[potenziale]] di <math>\mathbf{V}</math>. Il potenziale è determinato a meno di una costante additiva: se ad <math>U</math> si aggiunge una costante le sue derivate parziali non cambiano, quindi queste uguaglianze rimangono soddisfatte.
Line 22 ⟶ 18:
In generale, un campo vettoriale non ammette sempre un potenziale. Condizione necessaria perché un campo sia conservativo è che siano soddisfatte le uguaglianze:
 
:<math>\frac{\partial V_x}{\partial y}(x,y,z) = \frac{\partial V_y}{\partial x}(x,y,z) \qquad \frac{\partial V_y}{\partial z}(x,y,z) = \frac{\partial V_z}{\partial y}(x,y,z) \qquad \frac{\partial V_z}{\partial x}(x,y,z) = \frac{\partial V_x}{\partial z}(x,y,z)</math>
 
:<math>\frac{\partial V_y}{\partial z}(x,y,z) = \frac{\partial V_z}{\partial y}(x,y,z)</math>
 
:<math>\frac{\partial V_z}{\partial x}(x,y,z) = \frac{\partial V_x}{\partial z}(x,y,z)</math>
 
che, introducendo l'operatore [[Rotore (fisica)|rotore]], si possono scrivere in forma compatta come:
Line 40 ⟶ 32:
In generale, un campo vettoriale conservativo è una [[Differenziale esatto|1-forma esatta]], ovvero è uguale alla [[derivata esterna]] di una qualche 0-forma (un campo scalare) <math>\phi</math>. Un campo vettoriale irrotazionale è una 1-[[forma chiusa]]. Dal fatto che ogni forma esatta è anche chiusa, in quanto <math>d^2 = 0</math>, segue che un campo vettoriale irrotazionale è conservativo, cioè ha la proprietà di compiere un lavoro indipendente dal cammino (ma non è valido il viceversa, poiché un campo non è necessariamente conservativo se il suo rotore è nullo). Inoltre, il dominio è [[Spazio semplicemente connesso|semplicemente connesso]] se e solo se il suo [[Omologia (topologia)|primo gruppo di omologia]] ed il primo [[Coomologia di De Rham|gruppo di coomologia di De Rham]] <math>H_{\mathrm{dR}}^{1}</math> è 0 se e solo se tutte le 1-forme sono esatte.
 
==Definizione in forma=Forma integrale===
Le condizioni per la conservatività di un campo vettoriale date in precedenza possono essere scritte in forma integrale. Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> sia conservativo è che l'[[Integrale di linea di seconda specie|integrale curvilineo]] lungo qualsiasi linea chiusa <math>l</math> sia nullo:
 
Line 53 ⟶ 45:
==Forza conservativa==
{{vedi anche|Forza conservativa}}
Si consideri il moto di un oggetto soggetto ad una [[forza]], che può essere rappresentata nello spazio con un [[Campo di forze|campo vettoriale]] <math>\mathbf{F}</math>. Il [[Lavoro (fisica)|lavoro]] compiuto dalla forza sull'oggetto è definito come l'[[integrale di linea di seconda specie|integrale curvilineo]] (rispetto alla posizione) didella <math>\mathbf{F}</math>forza (cioè del campo vettoriale) lungo il percorso compiuto nello spazio. Condizione necessaria e sufficiente affinché la forza sia conservativa è che il lavoro compiuto durante un certo tragitto non dipenda dal particolare cammino percorso, ma solo dalla posizione dei punti di partenza e di arrivo. In tal caso, il potenziale della forza in un punto è proporzionale all'[[energia potenziale]] posseduta dall'oggetto in quel punto a causa della presenza della forza. Una forza conservativa è quindi una funzione che dipende soltanto dalla posizione, ed un modo equivalente per stabilirne la conservatività è osservare che il lavoro compiuto da essa lungo una qualsiasi traiettoria chiusa è nullo.
 
==Esempi==
;===Campo costante===
Un campo costante ha l'espressione:
 
Line 67 ⟶ 59:
:<math>U(\mathbf{r}) = F z</math>
 
;===Campo centrale===
Un campo centrale radiale ha l'espressione:
 
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = f(|\mathbf{r}|) \hat{\mathbf{r}}\qquad</math>
 
dove <math>\hat{\mathbf{r}}</math> è il versore nella direzione di <math>\mathbf{r}</math> e <math>r</math> è il suo modulo.
 
Se <math>f(r)</math> è ben definita, e non ha patologie che ne precludono l'integrabilità, allora il campo è conservativo, in quanto ammette un potenziale della forma:
 
:<math>U(|\mathbf{r}|) = \int f(r) dr</math>
 
In fisica si introduce spesso, ad esempio in [[elettrostatica]], si introduce spesso il concetto di potenziale definendolo come il [[lavoro]] speso per portare un corpo immerso in un campo di forze conservative da un punto molto lontano (infinito) a un punto <math>\mathbf{r}</math> dello spazio:
 
:<math>U(|\mathbf{r}|) = -\int_{\infty}^r f(r') dr'</math>
 
La comodità di questa definizione è che automaticamente il potenziale si annulla all'infinito.
 
Il [[campo gravitazionale]] di una [[Massa (fisica)|massa]] puntiforme e il [[Campo elettrico|campo elettrostatico]] di una [[Carica elettrica|carica]] puntiforme sono due esempi di campi centrali, e quindi sono sempre conservativi.
 
==Note==
Line 94 ⟶ 86:
 
== Voci correlate ==
* [[Campo di forze]]
* [[Campo vettoriale]]
* [[Campo vettoriale solenoidale]]▼
* [[Campo irrotazionale]]
* [[RotoreDerivata (matematica)|Rotoreesterna]]
* [[Differenziale esatto]]
* [[Forza conservativa]]
* [[Gradiente]]
* [[Integrale di linea di seconda specie]]
* [[Lavoro (fisica)]]
▲* [[Campo vettoriale solenoidale]]
* [[CampoRotore di forze(matematica)]]
* [[ForzaTeorema conservativadi Helmholtz]]
 
{{Portale|matematica}}
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_vettoriale_conservativo"