Derivata direzionale: differenze tra le versioni
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cioè la definizione di derivata parziale.
== Meccanica del continuo ==
Molti importanti risultati della meccanica del continuo sono espressi tramite il concetto di derivata di vettori rispetto a vettori e tensori rispetto a vettori e tensori.<ref name=Marsden00>J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, ''Mathematical Foundations of Elasticity'', Dover.</ref> The '''directional directive''' provides a systematic way of finding these derivatives.
===Funzione scalare di vettori===
Sia <math>f(\mathbf{v})</math> una funzione reale di <math>\mathbf{v}</math>. La derivata di <math>f(\mathbf{v})</math> rispetto a <math>\mathbf{v}</math> (o in <math>\mathbf{v}</math>) nella direzione <math>\mathbf{u}</math> è definita come:
:<math>
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = Df(\mathbf{v})[\mathbf{u}]
= \left[\frac{d }{d \alpha}~f(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha = 0} \qquad \forall \mathbf{u}</math>
e gode delle seguenti proprietà:
* Se <math>f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v}) + f_2(\mathbf{v})</math> allora:
:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u} </math>
* Se <math>f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v})~ f_2(\mathbf{v})</math> allora:
:<math> \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}\right)~f_2(\mathbf{v}) + f_1(\mathbf{v})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)</math>
* Se <math>f(\mathbf{v}) = f_1(f_2(\mathbf{v}))</math> allora:
:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} </math>
</ol>
===Funzione vettoriale di vettori===
Sia <math>\mathbf{f}(\mathbf{v})</math> una funzione vettoriale di <math>\mathbf{v}</math>. Allora la derivata di <math>\mathbf{f}(\mathbf{v})</math> rispetto a <math>\mathbf{v}</math> (o in <math>\mathbf{v}</math>) nella direzione <math>\mathbf{u}</math> è il vettore:
:<math> \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = D\mathbf{f}(\mathbf{v})[\mathbf{u}]
= \left[\frac{d }{d \alpha}~\mathbf{f}(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha = 0} \qquad \forall \mathbf{u}</math>
e gode delle seguenti proprietà:
* Se <math>\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_2(\mathbf{v})</math> allora:
:<math> \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u} </math>
* Se <math>\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v})</math> allora:
:<math>\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}\right)\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right) </math>
* Se <math>\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{f}_2(\mathbf{v}))</math> allora:
:<math>\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{f}_2}\cdot\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)</math>
</ol>
===Funzione scalare di tensori di ordine 2===
Sia <math>f(\boldsymbol{S})</math> una funzione reale di un tensore del secondo ordine <math>\boldsymbol{S}</math>. Allora la derivata di <math>f(\boldsymbol{S})</math> rispetto a <math>\boldsymbol{S}</math> (o in <math>\boldsymbol{S}</math>) nella direzione <math>\boldsymbol{T}</math> è il tensore del secondo ordine:
:<math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = Df(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}]
= \left[\frac{d }{d \alpha}~f(\boldsymbol{S} + \alpha\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}</math>
per ogni tensore del secondo ordine <math>\boldsymbol{T}</math>, e gode delle seguenti proprietà:
* Se <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S}) + f_2(\boldsymbol{S})</math> allora:
:<math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} </math>
* Se <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S})~ f_2(\boldsymbol{S})</math> allora:
:<math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)~f_2(\boldsymbol{S}) + f_1(\boldsymbol{S})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math></li>
* Se <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(f_2(\boldsymbol{S}))</math> allora <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>
===Funzione tensoriale di tensori di ordine 2===
Sia <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> una funzione che mappa tensori del secondo ordine <math>\boldsymbol{S}</math> in tensori del secondo ordine. Allora la derivata di <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> rispetto a <math>\boldsymbol{S}</math>
(o in <math>\boldsymbol{S}</math>) nella direzione <math>\boldsymbol{T}</math> è il tensore del quarto ordine:
:<math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = D\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}]
= \left[\frac{d }{d \alpha}~\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S} + \alpha\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}</math>
per ogni tensore del secondo ordine <math>\boldsymbol{T}</math>, e gode delle seguenti proprietà:
* Se <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})</math> allora:
:<math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} </math>
* Se <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})</math> allora:
:<math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>
* Se <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> allora:
:<math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>
* Se <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> allora <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>
== Note ==
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* [[Derivata parziale]]
* [[Funzione differenziabile]]
* [[Generalizzazioni della derivata]]
* [[Gradiente]]
* [[Matrice jacobiana]]
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