Differenze tra le versioni di "Matrice trasposta"

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In [[matematica]], l'operatore dila '''trasposizione''', che si denota con un apice o con unamatrice trasposta''T'' ad esponente, associa addi una [[matrice]] la sua relativa '''trasposta''', ovveroè la matrice ilottenuta cuiscambiandone genericole elementorighe con indicile (''i, j'') è l'elemento con indici (''j, i'') della matrice originariacolonne. In simboli:
:<math>\left(A^T\right)_{ij} = A_{ji},\quad \forall A \in \mathbf{K}^{m,n}, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n</math>
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==Definizione==
In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
La trasposta di una matrice <math>A</math> è la matrice <math>A^T</math> il cui generico elemento con indici <math>(i, j)</math> è l'elemento con indici <math>(j, i)</math> della matrice originaria. In simboli:
 
:<math>\left(A^T\right)_{ij} = A_{ji}, \quadqquad \forall A \in \mathbf{K}^{m,n}, \quad 1 \le i \le m, 1 \le j \le n</math>
 
con <math>\mathbf{K}^{m,n} </math> lo [[spazio vettoriale]] delle matrici di dimensione ''n''. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
 
*L'operazione Ladi trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su [[Vettore (matematica)|vettori]]. In particolare, un [[vettore colonna]] trasposto è un vettore [[riga]] e viceversa.<br />
 
*Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]], e deve essere una matrice quadrata. Uno [[scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'', ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici '''<math>A'''</math> e '''<math>B'''</math> di [[prodotto tra matrici|dimensioni opportune]] si abbia che:
 
:<math>(\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{A}^\mathrm{T} \ne \mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{B}^\mathrm{T},</math>
 
:l'operatore di trasposizione è [[trasformazione lineare|lineare]], ovvero, dati due scalari ''<math>k''</math> ed ''<math>l''</math>, vale:
 
:<math>(k\mathbf{A}+l\mathbf{B})^\mathrm{T} = (k\mathbf{A})^\mathrm{T}+(l\mathbf{B})^\mathrm{T} = k\mathbf{A}^\mathrm{T}+l\mathbf{B}^\mathrm{T}.</math>
 
:Più in generale, dati N scalari ''k<submath>ik_i</submath>'' ed N matrici di pari dimensioni ''A<submath>iA_i</submath>'', vale :
 
:<math> \left( \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i \right) ^\mathrm{T} = \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i^\mathrm{T} </math>
 
:dove ''Σ''<math>\sum</math> indica una [[sommatoria]].
 
== Proprietà ==
Valgono le seguenti proprietà:
<li>* La trasposta della trasposta è la matrice stessa.:
:<math>\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad </math>
<li>* La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte.:
:<math>(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} </math>
<li>* L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione.:
:<math>\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
:Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
:<math>\left( \mathbf{A B C ... X Y Z} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{Z}^\mathrm{T} \mathbf{Y}^\mathrm{T} \mathbf{X}^\mathrm{T} ... \mathbf{C}^\mathrm{T} \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
<li>* Se ''<math>c''</math> è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato.:
:<math>(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
<li>['''solo* perNel caso di [[Matrice quadrata|matrici quadrate]]'''], Ilil determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale.:
:<math>\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) </math>
<li>* Il prodotto scalare tra due vettori colonna '''<math>\mathbf{a'''}</math> e '''<math>\mathbf{b'''}</math> può essere calcolato come:
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},</math>
:che può essere scritto usando la notazione di Einstein come '''a'''<sub>''i''</submath>a_i '''b'''<sup>''^i''</supmath>.
<li>* Se '''<math>A'''</math> ha solamente elementi reali, allora '''A'''<supmath>A^T A</supmath>'''A''' è una matrice semidefinita positiva.
<li>* La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale.:
:<math>(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} </math>
<li>* Se '''<math>A'''</math> è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.
 
== Trasposta di applicazioni lineari ==
Più in astratto, se <math>V</math> e <math>W</math> sono due [[spazi vettoriali]] di dimensione finita sullo stesso campo e <math>f : V \to W</math> è un'[[applicazione lineare]] allora possiamo definire l'applicazione ''duale'' di <math>f</math> come la mappa <math>f^* : W^* \to V^* : \varphi \mapsto \varphi \circ f</math>, tra gli [[spazi duali]] <math>W^*</math> e <math>V^*</math>. Ora fissateFissate due basi <math>e_1, \ldots, e_m</math> e <math>f_1, \ldots, f_n</math> di <math>V</math> e <math>W</math> rispettivamente, si dimostra che se <math>A</math> è la matrice associata a <math>f</math> rispetto tali basi allora la matrice associata a <math>f^*</math> rispetto alle [[basi duali]] di <math>e_1, \ldots, e_m</math> e <math>f_1, \ldots, f_n</math> è proprio la trasposta di <math>A</math>.
 
== Esempi ==
2 & 4 & 6\\
8 & 3 & 1 \end{bmatrix} \;
 
 
</math>
Idea di calcolo: ruotare la matrice <math>A</math> di 90° antiorario, dopodiché effettuare lo specchio di quest'ultima (nel primo esempio: la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate della matrice <math>A</math> ruotata di 90°).
 
Idea di calcolo: ruotare la matrice <math>A</math> di 90° antiorario, dopodiché effettuare lo specchio di quest'ultima (nel primo esempio: la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate della matrice <math>A</math> ruotata di 90°).
== Proprietà ==
 
Se intendiamo la trasposta come una [[matrice di trasformazione]], notiamo che:
<math>\mathbf{K}: \mathbf{K}^{m,n} \to \mathbf{K}^{n,m}</math>
cioè otteniamo una matrice con le dimensioni invertite.
 
Valgono le seguenti proprietà:
<ol>
<li>La trasposta della trasposta è la matrice stessa.
:<math>\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad </math>
<li>La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte.
:<math>(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} </math>
<li>L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione.
:<math>\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
:<math>\left( \mathbf{A B C ... X Y Z} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{Z}^\mathrm{T} \mathbf{Y}^\mathrm{T} \mathbf{X}^\mathrm{T} ... \mathbf{C}^\mathrm{T} \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
<li>Se ''c'' è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato.
:<math>(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} </math>
<li>['''solo per [[Matrice quadrata|matrici quadrate]]'''] Il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale.
:<math>\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) </math>
<li>Il prodotto scalare tra due vettori colonna '''a''' e '''b''' può essere calcolato come
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},</math>
che può essere scritto usando la notazione di Einstein come '''a'''<sub>''i''</sub> '''b'''<sup>''i''</sup>.
<li>Se '''A''' ha solamente elementi reali, allora '''A'''<sup>T</sup>'''A''' è una matrice semidefinita positiva.
<li>La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale.
:<math>(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} </math>
<li>Se '''A''' è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.
</ol>
 
=== Osservazioni ===
* La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e quindi anche su [[Vettore (matematica)|vettori]]. In particolare un [[vettore colonna]] trasposto è un vettore [[riga]] e viceversa.<br />
* Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]]. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.<br />
* Uno [[scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'' ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici '''A''' e '''B''' di [[prodotto tra matrici|dimensioni opportune]] si abbia che
:<math>(\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{A}^\mathrm{T} \ne \mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{B}^\mathrm{T},</math>
:l'operatore di trasposizione è [[trasformazione lineare|lineare]], ovvero, dati due scalari ''k'' ed ''l'', vale
:<math>(k\mathbf{A}+l\mathbf{B})^\mathrm{T} = (k\mathbf{A})^\mathrm{T}+(l\mathbf{B})^\mathrm{T} = k\mathbf{A}^\mathrm{T}+l\mathbf{B}^\mathrm{T}.</math>
:Più in generale, dati N scalari ''k<sub>i</sub>'' ed N matrici di pari dimensioni ''A<sub>i</sub>'', vale
:<math> \left( \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i \right) ^\mathrm{T} = \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i^\mathrm{T} </math>
:dove ''Σ'' indica una [[sommatoria]].
 
== Trasposta di applicazioni lineari ==
 
Più in astratto, se <math>V</math> e <math>W</math> sono due [[spazi vettoriali]] di dimensione finita sullo stesso campo e <math>f : V \to W</math> è un'[[applicazione lineare]] allora possiamo definire l'applicazione ''duale'' di <math>f</math> come la mappa <math>f^* : W^* \to V^* : \varphi \mapsto \varphi \circ f</math>, tra gli [[spazi duali]] <math>W^*</math> e <math>V^*</math>. Ora fissate due basi <math>e_1, \ldots, e_m</math> e <math>f_1, \ldots, f_n</math> di <math>V</math> e <math>W</math> rispettivamente, si dimostra che se <math>A</math> è la matrice associata a <math>f</math> rispetto tali basi allora la matrice associata a <math>f^*</math> rispetto alle [[basi duali]] di <math>e_1, \ldots, e_m</math> e <math>f_1, \ldots, f_n</math> è proprio la trasposta di <math>A</math>.
 
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