Teorema di Ascoli-Arzelà: differenze tra le versioni
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Il '''Teorema di Ascoli-Arzelà''' è un [[teorema]] di [[analisi matematica]], di fondamentale importanza in [[analisi funzionale]].▼
▲Il teorema fornisce una condizione sufficiente affinché una [[successione (matematica)|successione]] di [[Funzione continua|funzioni continue]] [[funzione limitata|limitate]] ammetta una [[sottosuccessione]] [[limite di una successione|convergente]], nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende <math>C([a,b])</math>, lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo <math>[a,b]</math>, uno [[spazio completo]], ovvero uno [[spazio di Banach]]. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il [[teorema di Heine-Borel]]).<ref>Una successione limitata che non ammette sottosuccessioni convergenti nella norma del massimo, per esempio, è la successione <math>f_n</math> definita da:
:<math>f_n=\left\{
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\right.
</math>
Si tratta in sostanza di funzioni a capanna con massimo uguale a uno definite tra <math>\frac{1}{n+1}</math> e <math>\frac{1}{n}</math>. Tali funzioni sono tutte limitate (il massimo vale appunto uno), ma distano le une dalle altre sempre due in quanto dove una funzione è diversa da zero tutte le altre sono nulle.</ref>
▲Il
== Il teorema ==
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per ogni funzione <math>f_n</math> della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo [[modulo di continuità]].
Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione <math>f_n</math> di funzioni continue a valori reali uniformemente limitate definite su <math>[a,b] \in \R</math> chiuso e limitato. Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione <math>f_{n_k}</math>
=== Generalizzazione ===
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* {{Cita pubblicazione|nome=Maurice|cognome=Fréchet|linkautore=Maurice Fréchet|titolo=Sur quelques points du calcul fonctionnel|rivista=Rend. Circ. Mat. Palermo|volume=22|pagine=1–74|anno=1906|doi=10.1007/BF03018603}}.
* {{Cita pubblicazione|nome=Walter|cognome=Rudin|linkautore=Walter Rudin|titolo=Principles of mathematical analysis|isbn=978-0-07-054235-8|anno=1976|editore=McGraw-Hill}}
==Voci correlate==
* [[Funzione continua]]
* [[Funzione limitata]]
* [[Limite di una successione]]
* [[Norma uniforme]]
* [[Sottosuccessione]]
* [[Spazio completo]]
* [[Successione di funzioni]]
* [[Teorema di Heine-Borel]]
{{Portale|matematica}}
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