Matrice jacobiana: differenze tra le versioni

La jacobiana non è tuttavia una semplice rappresentazione matriciale delle derivate pariaziali. La funzione <math>\mathbf f</math> è detta [[funzione differenziabile|differenziabile]] in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math> tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 213|rudin}}</ref>

dove il resto <math>\mathbf r(\Delta\mathbf{x})</math> si annulla all'annullarsi dell'incremento <math>\Delta\mathbf{x}</math>. Se la funzione <math>\mathbf{f}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, allora tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistono. La jacobiana di <math>f</math> in <math>\mathbf x_0</math> è la [[matrice di trasformazione|matrice associata]] all'[[applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> rispetto alle basi canoniche di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math>:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 217|rudin}}</ref>

:<math>J_f\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\Delta\mathbf{x} = J_{\mathbf f(\mathbf x_0)} \cdot \Delta\mathbf{x} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i (\mathbf {xx_0})}{\partial x_j} \Delta x_j \right] \cdot \mathbf u_i = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \cdot \Delta \mathbf{x} </math>