Matrice jacobiana: differenze tra le versioni

La jacobiana non è tuttavia una semplice rappresentazione matriciale delle derivate pariaziali. La funzione <math>\mathbf f</math> è detta [[funzione differenziabile|differenziabile]] in un punto <math>\mathbf{ x}_0'</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math> tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 213|rudin}}</ref>

:<math>\mathbf{f}(\mathbf{ x}_0' + \Delta\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{ x}_0') = \mathbf{L}(\mathbf{ x}_0')\Delta\mathbf{x} + \mathbf r(\Delta \mathbf{x}) </math>

dove il resto <math>\mathbf r(\Delta\mathbf{x})</math> si annulla all'annullarsi dell'incremento <math>\Delta\mathbf{x}</math>. Se la funzione <math>\mathbf{f}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{ x}_0'</math>, allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. La jacobiana <math>J_{\mathbf f(\mathbf x_0x')}</math> di <math>f</math> in <math>\mathbf x_0x'</math> è la [[matrice di trasformazione|matrice associata]] all'applicazione lineare <math>\mathbf L(\mathbf x_0x')</math> rispetto alle basi canoniche di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math>:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 217|rudin}}</ref>

:<math>\mathbf{L}(\mathbf{ x}_0')\Delta\mathbf{x} = J_{\mathbf f(\mathbf x_0x')} \cdot \Delta\mathbf{x} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i (\mathbf {x_0}x')}{\partial x_j} \Delta x_j \right] \cdot \mathbf u_i = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \cdot \Delta \mathbf{x} </math>

La jacobiana descrive quindi la derivata di <math>\mathbf f</math> in <math>\mathbf x'</math>.

Lo jacobiano in un dato punto fornisce importanti informazioni circa il comportamento di <math>f</math> nell'intorno del punto. Per esempio, una funzione <math>f</math> [[funzione differenziabile|differenziabile]] con continuità è [[Funzione invertibile|invertibile]] vicino a <math>\mathbf x_0x'</math> se lo jacobiano in <math>\mathbf x_0x'</math> è non nullo, come stabilisce il [[teorema della funzione inversa]]. Inoltre, se lo jacobiano in <math>\mathbf x_0x'</math> è positivo <math>f</math> preserva l'[[orientazione]] vicino a <math>\mathbf x_0x'</math>, mentre se il determinante è negativo <math>f</math> inverte l'orientazione.

Il [[valore assoluto]] dello jacobiano in <math>\mathbf x_0x'</math> fornisce il fattore del quale la funzione <math>f</math> espande o riduce i volumi vicino a <math>\mathbf x_0x'</math>: per questo motivo esso compare nella generale [[integrazione per sostituzione|regola di sostituzione]].