Raggio spettrale: differenze tra le versioni

In [[analisi numerica]] il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un [[metodo iterativo]] è [[Convergenza|convergente]] verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un [[sistema lineare]] (come il [[metodo di Jacobi]] o [[Metodo di Gauss-Seidel|quello di Gauss-Seidel]]) converge alla soluzione del sistema [[se e solo se]] il raggio spettrale della ''matrice di iterazione'' è strettamente minore di 1.

 

Per un [[operatore lineare continuo|operatore lineare]] [[operatore limitato|limitato]] <math>A</math> e una [[norma operatoriale]] <math>\| \cdot \|</math>, il raggio spettrale <math>\rho(A)</math> di <math>A</math> è dato da:

 

:<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}</math>

 

Siano <math>\lambda_1, \dots \lambda_n</math> [[Autovettore e autovalore|autovalori]] (reali o complessi) di una matrice <math>A \in \C^{n \times n}</math>. Allora il suo raggio spettrale <math>\rho(A)</math> è definito come:

 

 

Un [[Limite superiore e limite inferiore|limite superiore]] per il raggio spettrale è dato dal seguente lemma. Sia <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> una matrice complessa, <math>\rho(A)</math> il suo raggio spettrale e <math>\| \cdot \|</math> una [[Norma matriciale|norma matriciale consistente]]. Allora per ogni <math>k \in \N</math> si ha: