Raggio spettrale: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], il '''raggio spettrale''' di una [[matrice (matematica)|matrice]] o di un [[operatore lineare limitato]] è l'[[
== Raggio spettrale di una matrice ==
In [[analisi numerica]] il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un [[metodo iterativo]] è [[Convergenza|convergente]] verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un [[sistema lineare]] (come il [[metodo di Jacobi]] o [[Metodo di Gauss-Seidel|quello di Gauss-Seidel]]) converge alla soluzione del sistema [[se e solo se]] il raggio spettrale della ''matrice di iterazione'' è strettamente minore di 1.▼
:<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}</math>▼
== Matrici ==▼
Siano <math>\lambda_1, \dots \lambda_n</math> [[Autovettore e autovalore|autovalori]] (reali o complessi) di una matrice <math>A \in \C^{n \times n}</math>. Allora il suo raggio spettrale <math>\rho(A)</math> è definito come:
:<math>\rho(A) \
Un [[Limite superiore e limite inferiore|limite superiore]] per il raggio spettrale è dato dal seguente lemma. Sia <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> una matrice complessa, <math>\rho(A)</math> il suo raggio spettrale e <math>\| \cdot \|</math> una [[Norma matriciale|norma matriciale consistente]]. Allora per ogni <math>k \in \N</math> si ha:
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D'altra parte, se <math>\rho(A)>1</math> allora vi è almeno un elemento in <math>J</math> che non rimane limitato per <math>k</math> crescente, concludendo la dimostrazione.
== Raggio spettrale per un operatore lineare limitato ==
Per un [[operatore lineare limitato]] ''A'' e un [[operatore norma]] ||·||, si ha
▲:<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.</math>
▲In [[analisi numerica]] il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un [[metodo iterativo]] è [[Convergenza|convergente]] verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un [[sistema lineare]] (come il [[metodo di Jacobi]] o [[Metodo di Gauss-Seidel|quello di Gauss-Seidel]]) converge alla soluzione del sistema [[se e solo se]] il raggio spettrale della ''matrice di iterazione'' è strettamente minore di 1.
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