Spazio connesso: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], uno [[spazio topologico]] si dice '''connesso''' se non può essere rappresentato come l'unione di due o più [[insiemi aperti]] [[disgiunzione|disgiunti]]. In maniera poco formale ma abbastanza intuitiva, possiamo dire che la connessione è la proprietà topologica di un insieme di essere formato da un solo "pezzo". Un sottoinsieme di uno [[spazio topologico]] si dice connesso se è uno spazio connesso con la [[topologia di sottospazio]].
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* L'insieme dei [[numeri razionali]] come sottoinsieme dei reali è sconnesso, e in particolare è totalmente disconnesso.
* L'insieme <math>\mathbb{R}^n, n\geq 1</math>, con la topologia euclidea è uno spazio connesso.
* Il piano diviso da una retta è disconnesso.
* L'unione di alcune rette nel piano è uno spazio connesso se ce ne sono almeno due che non sono parallele.
* Ogni spazio con la [[topologia discreta]] è totalmente disconnesso. D'altro canto, uno spazio con un numero finito di punti può essere connesso con una diversa topologia.
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===Rapporto tra connessione per cammini e connessione===
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Ogni spazio connesso per cammini è connesso. L'inverso non è sempre vero: esistono spazi connessi ma non connessi per archi.<ref name=man1/>
Un esempio è dato dal sottospazio di <math>\mathbb{R}^2</math> conosciuto come [[seno del topologo]], e definito da
:<math>Y = \left\{(0,y)\ \big|\ |y| \leq 1\right\} \cup \left\{\left(x,\sin\frac 1x\right)\ \big|\ x>0\right\}</math>
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che è l'unione di un segmento verticale e di un "serpente" di lunghezza infinita che gli si avvicina oscillando sempre di più come illustrato in figura.
Per classi di spazi topologici che siano "sufficientemente regolari", le due nozioni coincidono. Ad esempio, i sottoinsiemi dei [[numeri reali]] '''R''' sono connessi [[se e solo se]] sono connessi per traiettoria; questi sottoinsiemi sono gli [[Intervallo (matematica)|intervalli]] di '''R'''.
Più in generale, gli [[Insieme aperto|insieme aperti]] di uno [[spazio euclideo]] (es: '''R'''<sup>''n''</sup> o '''C'''<sup>''n''</sup>) sono connessi se e solo se sono connessi per cammini.
Inoltre, la connessione e la connessione per cammini sono la stessa cosa per gli spazi topologici finiti.
==Connessione locale==
Uno '''spazio localmente connesso''' è uno spazio che è connesso "nel piccolo": ogni punto dello spazio ha cioè un [[Intorno#Base di intorni|sistema di intorni]] connessi. La definizione di '''spazio localmente connesso per archi''' è analoga.
La locale connessione è normalmente una proprietà minima di regolarità locale che viene richiesta affinché siano validi dei teoremi molto generali. Ad esempio, è spesso richiesta nella teoria dei [[rivestimento (topologia)|rivestimenti]].
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* La [[chiusura (matematica)|chiusura]] di uno spazio connesso è ancora connessa.
* Le componenti connesse sono sempre chiuse.
* Le componenti connesse di uno
* Le componenti connesse di uno spazio sono unione disgiunta delle componenti connesse per cammini.
* Connessione, connessione per archi, connessione locale e connessione per archi locale sono [[invarianti topologici]].
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{{Topologia}}
{{Portale|matematica}}
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