Minore (algebra lineare): differenze tra le versioni

In [[matematica]], in particolare in [[algebra lineare]], un '''minore''' di una [[matrice]] <math> A </math> è il determinante di una [[matrice quadrata]] ottenibile da <math> A </math> eliminando alcune righe e/o colonne di <math> A </math>.

Una '''sottomatrice''' di una matrice <math>A_{n \times m} </math> è una matrice <math> B_{r \times s}</math> ottenuta da <math> A </math> rimuovendo <math> n-r </math> righe e <math> m-s </math> colonne. Un '''minore''' è il determinante di una sottomatrice quadrata, cioè con <math> r = s </math>. Il numero <math> r </math> è definito '''ordine''' del minore.

IlI minoreminori complementarecomplementari èsono definitodefiniti solo per sole matrici <math>A</math> quadrate. Infatti se <math>A</math> <i>non</i> fosse quadrata, la sottomatrice che si otterrebbe togliendo una sola riga e una sola colonna da <math>A</math> sarebbe ancora non quadrata, e quindi non sarebbese unne potrebbe calcolare il determinante. Il minore (checomplementare perrispetto definizioneall'elemento è<math>a_{ij}</math> di una sottomatricematrice quadrata). Il<math>A</math> minoresi ottenutoottiene togliendo l'<math>i</math>-esima riga e la <math>j</math>-esima colonna e si indica con <math>A(i,j)</math> o con <math>A_{ij}</math>, mentre. unUn '''minore principale (dominante)''' è un minore ottenuto togliendo le ''ultime'' <math>n - r</math> righe e colonne o equivalentemente prendendo l'intersezione delle ''prime'' <math>r</math> righe e <math>r</math> colonne.

AlcuniTalvolta autorivengono chiamanoconfusi, erroneamente, i termini ''sottomatrice quadrata'' un minore e ''minore'' il suo determinante. Tale notazione rimane compatibileindicando con l'usoil delsecondo termineuna insottomatrice altre lingue, quali l'[[lingua inglese|inglese]]quadrata.

:<math> \det \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ -12 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 9 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 8 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} 2 & 5 & 9 \\ -12 & 2 & 0 \\ 1 & 9 & 8 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} -1 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 9 & 8 \end{bmatrix}</math>

:<math> \det \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -12 & 3 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -12 & 2 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} -12 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}</math> ...

:<math> \det \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix} </math>, <math> \det \begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}</math> , <math> \det \begin{bmatrix} 9 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} -12 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}</math>, <math> \det \begin{bmatrix} 8 \end{bmatrix}</math>

Il rango di una matrice <math> A_{m\times n} </math> è pari al massimo ordine di un minore [[matricenon invertibile|invertibile]]nullo di <math> A_{m\times n}. </math>

La [[matrice dei cofattori]] è un'importante matrice associata ad una [[matrice quadrata]], definita a partire dai determinanti dei suoi minori complementari.