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Geometria piana: differenze tra le versioni

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{{stub matematica}}
Per '''geometria piana''' si intende quel ramo della [[geometria euclidea]] orientato, appunto, al [[Piano (geometria)|piano]].
 
== Geometria euclidea e analitica ==
== Definizioni ==
I concetti fondamentali definiti nel piano sono il [[punto (geometria)|punto]] e la [[retta]]. A partire da questi due concetti se ne definiscono altri, come il [[segmento]], la [[semiretta]] o l'[[angolo]]. Tutti questi concetti hanno trovato una formalizzazione assiomatica negli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' di [[Euclide]] e sono alla base della [[geometria euclidea]].
 
Tramite la [[geometria analitica]], è possibile "dare un nome" a ciascuno di questi enti ed usare gli strumenti dell'[[algebra]] e dell'[[analisi matematica|analisi]]: questo è possibile grazie all'introduzione del [[piano cartesiano]], ovvero di un [[sistema di coordinate]] che permette di chiamare ogni punto <math> P </math> del piano con una coppia <math>P=(x,y) </math> di [[numeri reali]]. In questo modo è possibile definite rette, segmenti e altri enti geometrici come [[luogo (geometria)|luogo]] di punti che soddisfano alcune condizioni algebriche. Ad esempio, una retta è il luogo degli <math> (x,y) </math> che soddisfano l'[[equazione]]
Il piano è determinato da due [[Dimensione|dimensioni]] denominate ''x'' e ''y''. L'unità fondamentale è il [[punto (geometria)|punto]] che non ha dimensione.
:<math>ax+by = c </math>
Si definiscono
dove <math>a,b </math>e <math>c</math> sono tre numeri reali fissati.
* ''[[retta]]'' quella linea immaginaria che non ha né punto di orgine né punto di fine (è [[Infinito|infinita]]);
* ''semiretta'' quella porzione di retta che ha un solo punto di origine;
* ''[[segmento]]'' un tratto di retta delimitato da due punti.
 
Molti enti e teoremi della geometria piana sono però trattabili senza l'ausilio di coordinate. Tra questi, i concetti di [[triangolo]] e [[poligono]], e le relazioni di [[parallelismo]] e [[ortogonalità]] fra rette o segmenti. Anche le [[sezioni coniche]] come la [[circonferenza]] o la [[parabola]] sono trattabili (con qualche difficoltà) senza coordinate, ma queste iniziano a diventare importanti nello studio di [[curva (matematica)|curve]] più complicate.
''[[Parallelismo (geometria)|Parallele]]'' sono definite le rette che non si intersecano, giacendo sullo stesso piano.
Sono definite ''sghembe'' le rette che, con orientamenti diversi, giacciono su piani diversi (non sono parallele e non si intersecano).
 
=== Principali figure geometriche === ▼
Geometria significa misurazione. Ciò vuol dire che nell'ambito geometrico non si fa altro che calcolare misure tra formule e problemi.
=== Poligoni ===
{{vedi anche|poligono}}
Un [[poligono]] è una forma geometrica delimitata da una [[linea spezzata chiusa]], ovvero da una successione ciclica di segmenti, ciascuno dei quali inizia dove finisce il precedente. Questi segmenti si chiamano ''lati'', ed il numero di questi caratterizza il nome usato normalmente per il poligono: se sono 3 è un [[triangolo]], se sono 4 è un [[quadrilatero]], e così via. Un poligono ha almeno 3 lati.
 
Ogni poligono ha un [[perimetro]] ed un'[[area]], ciascuno dei suoi lati una [[lunghezza]], e due lati adiacenti determinano un [[angolo]]. Tutte queste grandezze sono strettamente correlate. Risultano normalmente utili quelle formule che permettono di determinare il perimetro o l'area del poligono a partire dalle altre grandezze.
== Proprietà ==
 
=== Sezioni coniche ===
* Per un punto possono passare infinite rette.
{{vedi anche|sezione conica}}
* Per ogni retta possono esistere infinite parallele.
Le [[sezione conica|sezioni coniche]] sono gli oggetti curvilinei più semplici. Tra questi vi è naturalmente la [[circonferenza]], e quindi la [[parabola]], l'[[ellisse]] e l'[[iperbole]]. A ciascuno di questi oggetti vengono associate varie grandezze, come il [[raggio (geometria)|raggio]] della circonferenza.
 
Il piano <math>xy</math> è convenzionalmente così definito per permettere, a coloro che devono trattare quanto la geometria stabilisce, di comprendersi nel dare orientamento alle figure.
 
Le unità di misura utilizzate per procedere ai calcoli necessari, devono essere stabilite e rispettate.
 
La geometria, pertanto, a mezzo di leggi e di formule, permette all'uomo di progettare e misurare.
 
Sul piano possono essere tracciate le più disparate forme geometriche (figure) delle quali però, a mezzo di formule, si possono conoscere esattamente le ampiezze, denominate aree o superfici.
 
Le figure geometriche sono delimitate da segmenti (lati) che, in base alla presenza o no di parallelismo e di inclinazione tra di loro, conferiscono alle stesse forme diverse e conseguenti nomi diversi.
 
▲=== Principali figure geometriche ===
 
Nella geometria piana sono presenti diverse figure, identificate in base agli [[Angolo|angoli]] e ai [[Lato|lati]].
 
* Il [[quadrato]] (4 lati uguali formanti tra loro angoli retti).
* Il [[rettangolo]] (4 lati, uguali a due a due, formanti angoli retti).
* Il [[triangolo]] (tre lati, formanti angoli dai valori più disparati).
* Il [[Rombo (geometria)|rombo]] (4 lati uguali formanti angoli diversi, a due a due).
* Il [[romboide]] (4 lati, uguali a due a due, formanti angoli uguali a due a due).
* Il [[Trapezio (geometria)|trapezio]] (4 lati, 2 di misure diverse, paralleli, e 2 inclinati che congiungono i primi due).
 
In base al numero dei lati, le figure geometriche assumono nomi specifici (vengono detti [[Poligono|poligoni]] regolari quelle figure aventi qualsiasi numero di lati ma tutti della stessa misura ed equidistanti da un punto detto centro: pentagono, esagono, eptagono, ottagono, ennagono, decagono ecc. - sono sempre inscrivibili in una circonferenza; se non sussiste questa possibilità i poligoni sono detti irregolari).
 
* Il [[cerchio]], composto da un segmento (circonferenza) che ha gli estremi a contatto e ogni punto di questo equidistante da un punto comune chiamato centro [ogni segmento che unisce il centro ad un qualsiasi punto della circonferenza è chiamato ''[[raggio (geometria)|raggio]]''; il segmento che unisce due punti della circonferenza, passando per il centro, è chiamato "diametro", pari perciò al doppio del raggio; il segmento che unisce due punti della circonferenza, senza passare per il centro è chiamato "corda"; il diametro è, pertanto, la corda massima].
 
== Superfici delle figure geometriche ==
 
Ogni figura geometrica delimita una porzione (superficie) del piano sul quale insiste, sia esso un terreno o un foglio da disegno o quant'altro possa essere utilizzato per rappresentarvi porzioni necessarie a qualsivoglia destinazione.
Le [[superficie (matematica)|superfici]] (o aree) sono quantificate in X<sup>2</sup>, dove X rappresenta l'[[unità di misura]] convenzionalmente utilizzata (ad esempio [[millimetro|mm]], [[centimetro|cm]], [[metro|m]], [[chilometro|km]] o qualunque altra [[:categoria:Unità di lunghezza|unità di lunghezza]]).
 
I parametri necessari per il calcolo delle aree delle figure piane sono le lunghezza dei lati, della base, dell'altezza, dell'[[apotema (geometria)|apotema]] etc.
 
La base di una figura piana si indica generalmente con la lettera ''B'', l'altezza con la lettera ''H'', il lato con la lettera ''L'' (elle) e questi sono i simboli che, nelle formule, si riferiscono ai valori da utilizzare, quando noti. L'area è indicata dalla lettera ''A''.
 
=== Formule per il calcolo delle aree delle principali figure piane ===
* [[Quadrato (geometria)|Quadrato]]: <math>A = L^2</math>
* [[Rettangolo]]: <math>A=B \times H</math>
* [[Triangolo]]: <math>\frac{B \times H}{2}</math>
* [[Trapezio (geometria)|Trapezio]]: <math>A = \frac{(B + b)\times H}{2} </math> (dove ''b'' rappresenta la base minore)
* [[Rombo]] e [[romboide]]: <math>A=B \times H</math>;
* [[Poligono (geometria)|Poligono]] regolare: <math>A=\frac{P*a}{2}</math> dove ''P'' è il [[perimetro]] e ''a'' l'apotema
* [[Cerchio]]: <math>A= \pi \times r^2 </math> dove ''r'' è il [[raggio (geometria)|raggio]]
* Poligono non intrecciato con vertici nei punti <math>(x_i;y_i)_{i=1\ldots n}</math>: <math>A=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i y_{i+1} - \sum_{i=1}^{n} x_{i+1} y_i\right)</math>
:con la convenzione <math>(x_{n+1};y_{n+1})=(x_1;y_1)\,\!</math> ([[Shoelace formula]])
 
[[Categoria:Geometria piana]]
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