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Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy: differenze tra le versioni

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:<math>I \times J = \{ (x, y ) \in \R \times \R^n : |x - x_0| \leq a, \|y - y_0 \| \leq b \}</math>
 
con <math>a</math>, <math>b</math> reali positivi, e si ponga che <math>f</math> è almeno di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^{0}</math> in tale intorno. Si supponga inoltre <math>f</math> [[Funzione lipschitziana|lipschitziana]] rispetto alla variabile <math>y</math> e uniformemente rispetto alla variabile <math>x</math>:
 
:<math>\|f(x,y_1) - f(x,y_2)\| \leq L \cdot \|y_1 - y_2\| \quad \forall x \in I \quad \forall y_1, y_2 \in J</math>
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==== Prima dimostrazione ====
Sia <math>\delta < \min \left\{a, \tfrac{1}{L}, \tfrac{b}{M} \right\}</math> con <math>M = \max \{ |f(x,y)|: (x,y) \in I \times J\}</math>. Si noti che <math>M \in \mathbb{R}</math> per il [[teorema di Weierstrass]] (poiché <math>I \times J</math> è [[spazio compatto|compatto]]). Nel caso in cui <math>M=0</math>, ovvero qualora <math>f</math> sia identicamente nulla, il sistema ammette come unica soluzione la [[funzione costante]] <math>y(x)=y_0</math>, quindi si può supporre <math>M \ne 0</math>.
 
Sia <math>I_\delta =[x_0-\delta,x_0+ \delta]</math>. Si può considerare lo [[spazio metrico]] <math>(X,\| \cdot \|_{C^{0}})</math> delle funzioni <math>g: I_\delta \to \R^n</math> continue con la [[norma dell'estremo superiore]], ed una [[palla (matematica)|palla]] al suo interno, definita da:
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:<math>\begin{align}|y_3(x)-y_2(x)| &= \left|\int_{x_0}^x [f(t,y_2(t))-f(t,y_1(t))]\mathrm{d}t \right| \le \left| \int_{x_0}^x |f(t,y_2(t))-f(t,y_1(t))|\mathrm{d}t|\right| \\
& \le \left|\int_{x_0}^x L|y_2(t)-y_1(t)|\mathrm{d}t\right|\le \frac{M L^2}{2} \left|\int_{x_0}^x |t - x_0|^2 \mathrm{d}t \right| = \frac{M L^2}{3!} |x - x_0|^3\end{align}</math>
 
Risulta a questo punto chiara la seguente [[stima]] generale, alla quale si può giungere tramite processo induttivo:
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y(0) = 1
\end{array} \right.</math>
:La funzione <math>f</math> soddisfa tutte le ipotesi, quindi localmente la soluzione è unica (in realtà si potrebbe osservare che poiché <math>|f| \le K|y|</math> per una certa costante reale <math>K</math> la soluzione è globalmente unica al variare di <math>\lambda \in \R</math>). La soluzione è quindi (tenendo conto della condizione iniziale <math>y(0) = 1</math>) la funzione <math>y = e^{\lambda x}</math>
 
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* Si consideri l'[[equazione differenziale]] del secondo ordine che descrive il [[moto armonico]]:
 
:<math> y'' + \omega^2 y= 0, \quad \omega \in \R</math>
 
:riconducibile mediante sostituzione al sistema:
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*{{en}} [[Vladimir Igorevich Arnold]] (1988): ''Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations'', 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-96649-8
* {{en}} [[Vladimir Igorevich Arnold]] (1992): ''Ordinary Differential Equations'', Springer, ISBN 3-540-54813-0
* {{fr}} G. Peano, ''Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires'' Math. Ann. , 37 (1890) pp. 182–228
* {{en}} I.G. Petrovskii, ''Ordinary differential equations'' , Prentice-Hall (1966) (Translated from Russian)
* {{en}} P. Hartman, "Ordinary differential equations" , Birkhäuser (1982)
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