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Riga 1: In [[matematica]], il '''~~Teorema~~teorema di Goodstein''' è un teorema sui [[numeri naturali]], relativamente semplice da enunciare, la cui particolarità consiste nel fatto di essere [[enunciato indecidibile\|indecidibile]] dall'[[aritmetica di Peano]] ma dimostrabile nella [[teoria assiomatica degli insiemi]]. Esso può essere considerato un esempio di enunciato indecidibile dagli usuali assiomi dell'aritmetica più "naturale" rispetto alle complicate costruzioni dei [[teoremi di incompletezza di Gödel]]. Per enunciare il ~~''Teorema~~ teorema di Goodstein'' occorre dare alcune definizioni preliminari. == Notazione ereditaria in base ''n'' == Riga 286: La dimostrazione sopra esposta fa uso di un principio (l'[[induzione transfinita]] sugli ordinali minori di <math>\varepsilon_0</math>) che non è formalizzabile nell'[[Aritmetica di Peano]]. Questa è una conseguenza di due teoremi dovuti a Gödel e Gentzen: il primo ha dimostrato che se una teoria sufficientemente potente è coerente allora non può dimostrare la propria coerenza, il secondo ha dimostrato che la coerenza dell'[[Aritmetica di Peano]] si può dimostrare tramite il principio di [[induzione transfinita]] fino all'ordinale <math>\varepsilon_0</math>. Dunque a meno che l'aritmetica di Peano non sia incoerente non può essere in grado di formalizzare il principio di induzione transfinita fino all'ordinale <math>\varepsilon_0</math>. È naturale quindi chiedersi se il teorema sia o no dimostrabile nell'Aritmetica di Peano (eventualmente in altri modi). La questione è stata risolta dal [[~~Teorema~~teorema di Kirby e Paris]] (la cui dimostrazione è considerevolmente più tecnica e difficile di quella del ~~Teorema~~teorema di Goodstein) il quale sfrutta il teorema di Goodstein per dimostrare che l'aritmetica di Peano è una [[coerenza (logica matematica)\|teoria coerente]]. La dimostrazione di Kirby e Paris assieme con i [[teoremi di incompletezza di Gödel]] implica che il teorema di Goodstein è [[enunciato indecidibile\|indecidibile]] nell'aritmetica di Peano. ==Bibliografia==

Teorema di Goodstein: differenze tra le versioni