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Funzione Gamma: differenze tra le versioni

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m incipit e notazione matematica
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[[File:Gamma_plot.svg|thumb|Funzione gamma sui numeri reali]]
LaIn [[matematica]], la '''funzione Gamma''', nota anche come '''funzione gamma di [[Eulero]]''' è una [[funzione meromorfa]], [[funzioneFunzione continua|continua]] sui numeri reali positivi, che estende il concetto di [[fattoriale]] ai [[numeri complessi]], nel senso che per ogni [[numero intero]] non negativo ''<math>n''</math> si ha
:<math>\Gamma(n+1) = n! </math>,
dove ''<math>n''!</math> denota il fattoriale, cioè il prodotto dei numeri interi da <math>1</math> a ''<math>n''</math>: <math>n! = 1 ×\cdot 2 ×\cdot 3 ×\cdot ...\dots ×\cdot n</math>.
 
== Definizione ==
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:<math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,,</math>
per cui si ha
<math>\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+1)/}{z}</math>. In questo modo la definizione della <math>\Gamma </math> può essere estesa dal semipiano <math>\mathrm{Re }(z) >0 </math> alla striscia <math>-1 < \mathrm{Re }(z) <0</math>, e successivamente a tutto il piano <math>\mathrm{Re }(z)<0</math>, con eccezione delle rette <math>\mathrm{Re }(z )=0,-1,-2,\ldotsdots</math>
 
Siccome Γ<math>\Gamma(1)&nbsp;=&nbsp;1</math>, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali ''<math>n''</math>, che
 
:<math>\Gamma(n+1)=n!\,.</math>
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Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, dovute rispettivamente a [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] e [[Karl Weierstrass|Weierstrass]], sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli)
 
:<math>\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdotsdots(z+n)}</math>▼
:<math>
▲\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}
</math>
 
:<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>
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Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:
 
:<math>\Gamma(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt.</math>▼
:<math>
▲\Gamma(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt.
</math>
 
In questa formula sono espliciti i poli di ordine <math>1</math> e residuo <math>\frac{(-1)<sup>^n}{n!}</supmath>/n! che la funzione Gamma ha in <math>z = -n</math>, per ogni <math>n</math> intero non negativo.
 
La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti
 
:<math>\lim_{z \to 0} \Gamma(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\Gamma(z+1)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z},</math>▼
:<math>
 
▲\lim_{z \to 0} \Gamma(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\Gamma(z+1)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z},
dove è stato fatto uso della relazione <math> \Gamma(1) = 1</math>.▼
</math>
▲dove è stato fatto uso della relazione <math> \Gamma(1) = 1</math>.
 
== Proprietà ==
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Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero
 
:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \mathrm{sen} \, sin(\pi z)}</math>▼
: <math>
 
▲\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \mathrm{sen} \, (\pi z)}
</math>
 
e quella di duplicazione
 
:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).</math>▼
: <math>
 
▲\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).
</math>
 
che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione
 
:<math>\Gamma(z) \;Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right)\Gamma\left(z + \frac{12}{m}\right) \;dots \Gamma\left(z + \frac{2m-1}{m}\right) = (2 \cdotspi)^{(m-1)/2}m^{1/2 - mz} \Gamma(mz).</math>▼
: <math>
 
▲\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).
</math>
 
Le sue derivate possono essere espresse in funzione di sé stessa e di altre funzioni, per esempio
 
: <math>\Gamma'(z)=\Gamma(z) \, \psi_0(z).,</math>
 
dove ''ψ<submath>0\psi_0</submath>'' è la [[funzione poligamma]] di ordine zero. In particolare,
 
: <math>\Gamma'(1)=-\gamma.,</math>
 
dove <math>\gamma</math> è la [[costante di Eulero-Mascheroni]]. [[Eugene Lukacs|Lukacs]] studiò altre proprietà nell'opera ''A Characterization of the Gamma Distribution'' negli ''Annals of Mathematical Statistics'' del [[1955]].
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Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è
 
: <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},</math>
 
che si può trovare ponendo ''<math>z=\frac{1/}{2''}</math> nella formula di riflessione.
 
Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di ''<math>\frac{1/}{2''}</math>
 
: <math>\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)= \frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}\, \sqrt{\pi} = {\frac{n}{2}-1\choose \frac{n-1}{2}} \frac{n-1}{2}! \, \sqrt{\pi}</math>
 
: <math>\Gamma\left(-\frac{n}{2}\right)= \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac{1}{2} \choose \frac{n+1}{2}}\frac{n+1}{2}!}</math>
 
dove <math>n!!</math> denota il [[semifattoriale]] e la parentesi tonda a due livelli il [[coefficiente binomiale]].
 
=== Teorema di unicità ===
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