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== Definizione ==
Sia ''<math>A''</math> un [[anelloAnello (algebra)|anello]] con le operazioni <math>+</math> e <math>*</math>. Un sottoinsieme ''<math>I''</math> di ''<math>A''</math> è un '''ideale destro''' se:
* <math>(''I'',+)</math> è un [[sottogruppo]] del [[gruppo abeliano]]di <math>(''A'',+)</math>;
* per ogni ''<math>i''</math> in ''<math>I''</math> ed ogni ''<math>a''</math> in ''<math>A''</math> l'elemento ''<math>i * '''a''</math> è sempre in ''<math>I''</math>;
'''e''' '''ideale sinistro''' se:
* <math>(''I'',+)</math> è un sottogruppo di <math>(''A'',+)</math>;
* per ogni ''<math>i''</math> in ''<math>I''</math> ed ogni ''<math>a''</math> in ''<math>A''</math> l'elemento ''<math>a * '''i''</math> è sempre in ''<math>I''</math>.
Un ideale che sia contemporaneamente destro e sinistro si dice '''ideale bilatero'''. Nel caso particolare in cui ''<math>A''</math> sia un [[anello commutativo]] le nozioni date coincidono e parliamo semplicemente di '''ideale'''. Per semplicità diamo le definizioni seguenti solo in un anello commutativo.
Per semplicità diamo le definizioni seguenti solo in un anello commutativo.
Un ideale ''I'' è un '''ideale proprio''' se è un sottoinsieme proprio di ''A'', cioè non coincide con ''A''. Un ideale proprio è un '''[[ideale massimale]]''' se non è contenuto strettamente in nessun altro ideale proprio. Un ideale proprio è un '''[[ideale primo]]''' se per ogni ''a'' ''b'' in ''I'', almeno uno dei due elementi ''a'' o ''b'' appartiene ad ''I''. ▼
▲Un ideale ''<math>I ''</math> è un '''ideale proprio''' se è un sottoinsieme proprio di ''<math>A ''</math>, cioè non coincide con ''<math>A ''</math>. Un ideale proprio è un '''[[ideale massimale]]''' se non è contenuto strettamente in nessun altro ideale proprio. Un ideale proprio è un '''[[ideale primo]]''' se per ogni ''a''elemento ''b''<math>ab</math> in ''<math>I ''</math>, almeno uno dei due elementi ''<math>a ''</math> o ''<math>b ''</math> appartiene ad ''<math>I ''</math>.
Se ogni elemento ''x'' di ''I'' può essere scritto come ▼
▲Se ogni elemento ''<math>x ''</math> di ''<math>I ''</math> può essere scritto come
:<math> x = \sum_{k=1}^{n} a_{k} i_{k}</math>
dove ''a''<submath>''k''a_k</submath> è un elemento di ''<math>A''</math> e ''{i''<sub>''k''</submath>\{i_k : ''k=1,...\dots,n'' \}</math> è un sottoinsieme finito fissato di ''<math>I''</math>, diciamo che ''<math>I''</math> è '''[[insiemeInsieme di generatori|finitamente generato]]''' e si scriverà ''<math>I=(i<sub>1i_1,\dots,i_n)</submath>,..., iSe <submath>nI</submath>)''. Se ''I'' è generato da un solo elemento diciamo che è un '''ideale principale'''.
== Storia ==
: <math>6 = 2 \times 3 = \left( 1 + \sqrt{-5} \right) \left( 1 - \sqrt{-5} \right)</math>.
I primi <math>\sqrt{2}</math>, <math>\frac{\left( 1 + \sqrt{-5} \right)}{\sqrt{2}}</math> e <math>\frac{\left( 1 - \sqrt{-5} \right)}{\sqrt{2}}</math>, consentono una scomposizione unica di <math>6</math>, tuttavia essi non appartengono a <math>\mathbb{Z}\left[ \sqrt{-5} \right]</math>, anche se vi appartiene ogni loro prodotto. Per tale caratteristica, Kummer denominò questi numeri come "primi ideali", dimostrando la decomposizione unica degli ideali in [[ideale primo|ideali primi]] per molte estensioni di <math>\mathbb{Z}</math>. Gli ideali furono pertanto definiti come gli insiemi formati dai prodotti di numeri ideali; a partire da questa idea, [[Richard Dedekind]] diede nel [[1871]] la definizione attuale di ideale.
== Proprietà ==
* Un ideale è proprio [[se e solo se]] non contiene l'unità dell'anello. Infatti appartengono all'ideale tutti i numeri ottenuti moltiplicando un qualsiasi elemento di A per 1.
* Più in generale risulta che <math>u \in I \Rightarrow I \equiv A</math> se ''<math>u''</math> è invertibile. Infatti se ''<math>u''</math> è invertibile <math>u^{-1}\in A</math>, quindi anche <math>uu^{-1}=1\in I</math> e ci si riporta al caso precedente.
* L'[[anello quoziente]] ''<math>A / I''</math> è un [[dominio d'integrità]] se e solo se ''<math>I''</math> è un ideale primo.
* L'anello quoziente ''<math>A / I''</math> è un [[campoCampo (matematica)|campo]] se e solo se ''<math>I''</math> è un ideale massimale.
* Gli ideali giocano un ruolo simile a quello dei [[sottogruppo normale|sottogruppi normali]] nei [[teorema di isomorfismo|teoremi di isomorfismo]] sugli anelli.
* Un ideale può essere visto come [[moduloModulo (algebra)|sottomodulo]] di un anello e molti teoremi sugli ideali possono essere estesi alla teoria dei moduli.
== Operazioni sugli ideali ==
== Esempi ==
* Gli [[numeriNumeri interi|interi]] pari formano un ideale nell'anello '''<math>\mathbb{Z'''}</math> di tutti gli interi.
* Nell'anello '''<math>\mathbb{Z'''}</math> degli interi, ogni ideale proprio è principale.
* L'insieme di tutti i [[polinomioPolinomio|polinomi]] a coefficienti [[numeriNumeri reali|reali]] divisibili per il polinomio ''x''<supmath>x^2</sup> + 1</math> è un ideale nell'anello di tutti i polinomi.
* L'insieme delle [[matrice quadrata|matrici quadrate]] con ''<math>n''</math> righe aventi l'ultima colonna nulla formano un ideale sinistro nell'anello di tutte le matrici quadrate con ''<math>n''</math> righe. Non è un ideale destro!
* L'anello <math>C('''\mathbb{R'''})</math> di tutte le [[funzioneFunzione continua|funzioni continue]] da '''<math>\mathbb{R'''}</math> in '''<math>\mathbb{R'''}</math> contiene l'ideale di tutte le funzioni continue ''<math>f''</math> tali che ''<math>f''(1) = 0</math>.
* <math>\{0\}</math> e ''<math>A''</math> sono ideali in qualsiasi anello ''<math>A''</math>. Se ''<math>A''</math> è commutativo, è un [[campoCampo (matematica)|campo]] se e solo se questi sono gli unici ideali di ''<math>A''</math>.
== Bibliografia ==
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