Teorema del rotore: differenze tra le versioni
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:<math>\begin{align}
\oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d\Gamma &=\int_{a}^{b} \left\langle (\mathbf{F}\circ \psi (t))\bigg|\frac{d\Gamma}{dt}(t) \right\rangle dt \\
&= \int_{a}^{b} \left\langle (\mathbf{F}\circ \psi (t))\bigg|\frac{d(\psi\circ\gamma)}{dt}(t) \right\rangle dt \\
&= \int_{a}^{b} \left\langle (\mathbf{F}\circ \psi (t))\bigg|(J\psi)_{\gamma(t)}\cdot \frac{d\gamma}{dt}(t) \right\rangle dt
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Si ottiene la seguente equazione:
:<math>\oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d\Gamma = \oint_{\gamma} \mathbf{P} \cdot d\gamma</math>
Utilizzando la regola di Leibniz per il prodotto interno si calcolano le derivate parziali:
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:<math>\begin{align}
\iint_S (\nabla\times\mathbf{F}) \cdot dS &=\iint_D \left\langle (\nabla\times\mathbf{F})(\psi(u,v)) \bigg |\frac{\partial\psi}{\partial u}(u,v)\times \frac{\partial\psi}{\partial v}(u,v)\right\rangle dudv\\
&= \iint_D \det \left [ (\nabla\times\mathbf{F})(\psi(u,v)) \quad \frac{\partial\psi}{\partial u}(u,v) \quad \frac{\partial\psi}{\partial v}(u,v) \right ] du dv
\end{align}</math>
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sicché si ottiene:
:<math> \iint_S (\nabla\times\mathbf{F}) \cdot dS =\iint_{D} \left( \frac{\partial P_2}{\partial u} - \frac{\partial P_1}{\partial v} \right) dudv </math>
Considerando il [[teorema di Green]], dai risultati mostrati segue la tesi.
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