Teorema delle intersezioni dimensionali: differenze tra le versioni
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era sbagliato l'esempio....studio matematica all'università |
cerco di sistemare un po' |
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Il teorema
▲Il teorema risulta utile nella geometria dalla [[quarta dimensione]] in su, laddove le intersezioni risultano meno intuitive che nelle più consuete geometrie euclidee del piano e dello [[spazio tridimensionale]].
== Enunciato ==
<big>In uno spazio affine di dimensione <math>n</math>, due spazi di dimensione <math>p</math> e <math>q</math>, non mutuamente [[Spazio affine#relazioni|paralleli]] e non entrambi appartenenti ad uno stesso spazio di dimensione inferiore ad <math>n</math>, si intersecano in uno spazio di dimensione:</big>
<math>m = p + q - n \qquad \text{ con } \qquad 0 \le p \le n \qquad 0 \le q \le n.</math>
Un valore negativo di <
▲Un valore negativo di <big>''m''</big> indica che i due spazi <big>''pD''</big> e <big>''qD''</big> non si intersecano nello spazio <big>''nD''</big>. In tal caso il valore assoluto di <big>''m''</big> indica il numero di dimensioni da sottrarre allo spazio <big>''nD''</big> per ottenerne uno in cui i due spazi <big>''pD''</big> e <big>''qD''</big> si intersechino in un punto.
== Esempi ==
[[File:Enzo Bono - Sezioni ortoassiali del tesseratto.png|thumb|upright=1.4|Esempio di applicazione del teorema delle intersezioni dimensionali. Sono raffigurate le [[sezioni ipercubiche ortoassiali]] del [[tesseratto]], ottenute in uno spazio 4D, intersecando un tesseratto 4D con un fascio di 5 spazi 3D ortogonali ad una sua diagonale.]]
Ovviamente per la consueta geometria
* In un piano (
:<math>n=2 \qquad p=1 \qquad q=1 \qquad m = p + q - n = 0
quindi le due rette si intersecano in un punto (
* In uno spazio
:<math>n=3 \qquad p=2 \qquad q=2 \qquad m = p + q - n = 1
quindi i due piani si intersecano in una retta (
* In uno spazio
:<math>n=3 \qquad p=1 \qquad q=2 \qquad m = p + q - n = 0
quindi la retta ed il piano si intersecano in punto (
* In uno spazio
:<math>n=3 \qquad p=1 \qquad q=1 \qquad m = p + q - n = -1
quindi, essendo il valore di
* In uno spazio
:<math>n=4 \qquad p=1 \qquad q=2 \qquad m = p + q - n = -1
quindi, risultando un valore negativo di
* In uno spazio
:<math>n=4 \qquad p=1 \qquad q=3 \qquad m = p + q - n = 0
quindi la retta e lo spazio
== Oggetti ==▼
Il teorema vale anche per gli oggetti, cioè per le porzioni di spazio. Ovviamente gli oggetti, occupando solo una porzione di spazio, non sempre si intersecano, bisognerà allora precisare che “se” gli oggetti si intersecano vale il teorema suddetto.▼
Ad esempio:▼
In uno spazio ''3D'' una retta ''1D'' interseca un [[cubo]] ''3D'' in un [[segmento]] ''1D'', infatti:<br />▼
<math>n=3 \qquad p=1 \qquad q=3 \qquad m = p + q - n = 1 </math><br />▼
* Se la retta è [[Tangente (geometria)|tangente]] ad una faccia ''2D'' del cubo ''3D'', l’intersezione sarà ancora un segmento ''1D'', infatti la faccia ''2D'' e la retta ''1D'' in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è ''2D'', quindi:▼
<math>n=2 \qquad p=1 \qquad q=2 \qquad m = p + q - n = 1 </math><br />▼
* Se invece la retta è tangente ad uno spigolo ''1D'' del cubo ''3D'', l’intersezione sarà un punto ''0D'', infatti lo spigolo ''1D'' e la retta ''1D'' in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è ''2D'', quindi:▼
<math>n=2 \qquad p=1 \qquad q=1 \qquad m = p + q - n = 0 </math><br />▼
In uno spazio ''4D'' una retta ''1D'' interseca un cubo ''3D'' in un punto ''0D'', infatti:<br />▼
<math>n=4 \qquad p=1 \qquad q=3 \qquad m = p + q - n = 0 </math><br />▼
Il fatto che una retta possa attraversare un cubo ''3D'' intersecandolo solo in un punto non risulta per niente intuitivo. Per provare a comprenderlo può utilizzarsi un’analogia: per un essere ''2D'', che viva su un piano, risulterebbe altrettanto incomprensibile come una retta possa attraversare un quadrato intersecandolo solo in un punto, cosa del tutto evidente invece per un essere ''3D'' in uno spazio tridimensionale.<br />▼
Due oggetti della stessa dimensione dello spazio in cui sono immersi, si intersecano sempre in un oggetto della loro stessa dimensione. Risulterà infatti ''m = p + q – n = n + n – n = n''. Così nel nostro spazio ''3D'' due oggetti ''3D'' si intersecano in un oggetto tridimensionale e su un piano l’intersezione di due figure piane è ancora una figura piana.<br />▼
In uno spazio ''4D'' due oggetti tridimensionali si intersecano in una figura ''2D''. Ancora una volta tale circostanza può risultare poco intuitiva. Ricorrendo alla stessa analogia precedente, si pensi a come per un essere ''2D'', che viva su un piano, risulti incomprensibile come due figure piane possano intersecarsi in un segmento, fatto del tutto naturale nel nostro spazio ''3D''. ▼
== Dimostrazione ==
La dimostrazione del teorema può essere desunta direttamente da considerazioni analitiche.
In uno spazio
:<math>a_1x_1 + a_2x_2 +\cdots +a_nx_n + a_{n+1}
rappresenta uno spazio di dimensione <math>n-1</math>.
Line 79 ⟶ 56:
Ogni ulteriore equazione dello stesso tipo, aggiunta alla prima, riduce di uno il numero di dimensioni dell’ente geometrico rappresentato dal sistema dell'insieme delle equazioni.
In altre parole, in uno spazio cartesiano euclideo di dimensione <math>n</math>, un sistema di <math>g</math> equazioni del tipo
:<math>\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n + a_{1(n+1)} = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_1 + \cdots + a_{2n}x_n + a_{2(n+1)} = 0\\ \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \\ a_{g1}x_1 + a_{g2}x_1 + \cdots + a_{gn}x_n + a_{g(n+1)} = 0 \end{cases} </math
rappresenta uno spazio di dimensione <math>n-g</math>
In uno spazio di dimensione <math>
:<math>g_p = n - p</math>
:<math>g_q = n - q</math>
Intersecare due spazi significa considerare il sistema delle equazioni che li individuano. Non accade che ci siano equazioni [[Dipendenza lineare|linearmente dipendenti]] perché si sta supponendo che i due spazi non siano contenuti in uno spazio di dimensione minore di <math>n</math>. Per lo spazio di dimensione <math>
:<math>g_m = g_p + g_q = (n - p) + (n - q) = 2n - p - q,</math>
e quindi:
:<math>m = n - g_m = n - (2n - p - q) = p + q - n.</math>
che dimostra il teorema.
Line 116 ⟶ 93:
<math>n = 3 \qquad p=1 \qquad q=1 \qquad m=1 \qquad s = n - (p + q + m) = 2</math> <br />
e di conseguenza i due segmenti dovrebbero necessariamente appartenere ad uno stesso spazio di dimensione <big>''n – s = 1''</big>, cioè ad una stessa retta, come è evidente che sia per due segmenti che si sovrappongono.
▲== Oggetti ==
{{C|sezione non chiara con probabili errori|matematica|settembre 2014}}
▲Il teorema vale anche per gli oggetti, cioè per le porzioni di spazio. Ovviamente gli oggetti, occupando solo una porzione di spazio, non sempre si intersecano, bisognerà allora precisare che “se” gli oggetti si intersecano vale il teorema suddetto.
▲Ad esempio:
▲In uno spazio ''3D'' una retta ''1D'' interseca un [[cubo]] ''3D'' in un [[segmento]] ''1D'', infatti:<br />
▲<math>n=3 \qquad p=1 \qquad q=3 \qquad m = p + q - n = 1 </math><br />
▲* Se la retta è [[Tangente (geometria)|tangente]] ad una faccia ''2D'' del cubo ''3D'', l’intersezione sarà ancora un segmento ''1D'', infatti la faccia ''2D'' e la retta ''1D'' in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è ''2D'', quindi:
▲<math>n=2 \qquad p=1 \qquad q=2 \qquad m = p + q - n = 1 </math><br />
▲* Se invece la retta è tangente ad uno spigolo ''1D'' del cubo ''3D'', l’intersezione sarà un punto ''0D'', infatti lo spigolo ''1D'' e la retta ''1D'' in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è ''2D'', quindi:
▲<math>n=2 \qquad p=1 \qquad q=1 \qquad m = p + q - n = 0 </math><br />
▲In uno spazio ''4D'' una retta ''1D'' interseca un cubo ''3D'' in un punto ''0D'', infatti:<br />
▲<math>n=4 \qquad p=1 \qquad q=3 \qquad m = p + q - n = 0 </math><br />
▲Il fatto che una retta possa attraversare un cubo ''3D'' intersecandolo solo in un punto non risulta per niente intuitivo. Per provare a comprenderlo può utilizzarsi un’analogia: per un essere ''2D'', che viva su un piano, risulterebbe altrettanto incomprensibile come una retta possa attraversare un quadrato intersecandolo solo in un punto, cosa del tutto evidente invece per un essere ''3D'' in uno spazio tridimensionale.<br />
▲Due oggetti della stessa dimensione dello spazio in cui sono immersi, si intersecano sempre in un oggetto della loro stessa dimensione. Risulterà infatti ''m = p + q – n = n + n – n = n''. Così nel nostro spazio ''3D'' due oggetti ''3D'' si intersecano in un oggetto tridimensionale e su un piano l’intersezione di due figure piane è ancora una figura piana.<br />
▲In uno spazio ''4D'' due oggetti tridimensionali si intersecano in una figura ''2D''. Ancora una volta tale circostanza può risultare poco intuitiva. Ricorrendo alla stessa analogia precedente, si pensi a come per un essere ''2D'', che viva su un piano, risulti incomprensibile come due figure piane possano intersecarsi in un segmento, fatto del tutto naturale nel nostro spazio ''3D''.
== Voci correlate==
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