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Esperimento dello Schiehallion: differenze tra le versioni

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L''''esperimento dello Schiehallion''' è stato un [[esperimento]] scientifico del [[XVIII secolo]] — pensato e progettato in gran parte da [[Henry Cavendish]], ma eseguito dall'[[astronomo]] [[Nevil Maskelyne]] — per tentare una misurazione della [[densità]] della [[Terra]] o, utilizzando le parole dello stesso Maskelyne, per rendere «palpabile la [[gravitazione universale]] della materia»<ref name="Crease90">{{cita|Crease 2007|p. 90|Crease}}</ref>. Finanziato da una sovvenzione della [[Royal Society]], fu condotto nell'estate del [[1774]] intorno a una montagna scozzese di forma alquanto regolare chiamata [[Schiehallion]], nel [[Perth e Kinross|Perthshire]]. L'esperimento consisteva nel misurare la piccola deviazione di un [[pendolo]] causata dall'[[gravità|attrazione gravitazionale]] di una montagna vicina. Dopo una ricerca tra diverse montagne candidate, lo Schiehallion venne considerato il luogo ideale, grazie al suo isolamento e alla forma quasi simmetrica.
 
L'utilità di un simile esperimento era stata già ispirata da [[Isaac Newton]] a dimostrazione pratica della sua [[Legge di gravitazione universale|teoria della gravitazione]], ma da egli stesso in seguito scartata come irrealizzabile. Un altro degli spunti furono le anomalie nei dati riscontrate durante il tracciamento della [[linea Mason-Dixon]] tra la [[Pennsylvania]] e il [[Maryland]] dell'America coloniale. Gli astronomi inglesi [[Charles Mason]] e [[Jeremiah Dixon]], impegnati trafra il 1763 ede il 1767 a risolvere una disputa di confine fra i due stati, trovarono nella fase di misurazione molti più [[Errore sistematico|errori sistematici]] e non [[Errore statistico|casuali]] di quelli previsti, specialmente nell'osservazione della latitudine. Cavendish intuì che fossero stati i [[monti Allegani]] a nord-ovest a esercitare una leggera attrazione sulle apparecchiature di rilevamento<ref>{{cita|Mason &e Dixon 1969|pp. 76|Mason & Dixon}}</ref>, influenzando i loro risultati finali, ma non era in grado di valutare, senza un esperimento diretto, quanto fosse intenso questo effetto<ref>{{cita web|url=http://www.aps.org/publications/apsnews/200806/physicshistory.cfm|titolo=June 1798: Cavendish weighs the world|sito=American Physical Society|editore=Alan Chodos|data=giugno 2008|accesso=12 giugno 2014|lingua=en}}</ref>.
 
Prendendo spunto dall'apporto teorico di Newton e Cavendish, un team di scienziati, tra i quali in particolare Maskelyne, si impegnarono a condurre l'indagine, convinti che l'effetto di deflessione del pendolo sarebbe stato di rilievo. L'angolo di deflessione dipendeva dalla densità relativa tra il volume della Terra e quello della montagna: se fosse stato possibile calcolare la densità e il [[volume]] dello Schiehallion, allora si sarebbe potuta calcolare la densità della Terra. Una volta che questa fosse stata nota, allora sarebbe stato possibile ottenere approssimativamente quelle degli altri [[pianeta|pianeti]], dei loro [[satelliti naturali]], e del [[Sole]], precedentemente conosciute solo in termini di approssimazioni in percentuali relative. Come ulteriore conseguenza vantaggiosa, il concetto di [[isoclina]], ideato per semplificare il processo di rilevazione della montagna, divenne in seguito una tecnica standard in [[cartografia]].
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Il pessimismo di Newton era infondato: benché i suoi calcoli avessero suggerito una deviazione di meno di 2 [[Primo (geometria)|minuti d'arco]] (per una ipotetica montagna di tre miglia di altezza), questo angolo, anche se molto piccolo, si sarebbe potuto rilevare con gli strumenti di misura dell'epoca<ref name="Sillitto">{{cita web|url=http://www.sillittopages.co.uk/schie/schie90.html|titolo=Maskelyne on Schiehallion: A Lecture to The Royal Philosophical Society of Glasgow|cognome=Sillitto|nome=R.M.|data=31 ottobre 1990|accesso=11 giugno 2014|lingua=en|urlarchivio=http://web.archive.org/web/20140919111945/http://www.sillittopages.co.uk/schie/schie90.html|dataarchivio=19 settembre 2014|urlmorto=no}}</ref>.
 
Un esperimento per validare l'idea di Newton, oltre a produrre ulteriori elementi di prova per la sua legge di gravitazione universale, sarebbe stato in grado di fornire stime della [[Massa (fisica)|massa]] e della densità della Terra. Dal momento che le masse degli oggetti astronomici erano conosciute solo in termini di rapporti relativi, la determinazione della massa della Terra sarebbe stata utile per fornire valori ragionevoli per gli altri pianeti, le loro [[satellite naturale|lune]] ede il Sole<ref name="Lawrence">{{cita|Whipple 1968|pp.47-49|Whipple}}</ref>. I dati avrebbero inoltre permesso di determinare il valore della costante gravitazionale <math>G</math> di Newton, anche se questo non era uno degli obiettivi iniziali degli sperimentatori: riferimenti a un valore di <math>G</math> non sarebbero apparsi nella letteratura scientifica fino a circa cento anni dopo, tanto da essere quasi qualificati come un [[anacronismo]]<ref>{{cita pubblicazione|cognome=Cornu|nome=A.|coautori=Baille, J. B.|anno=1873|titolo=Mutual determination of the constant of attraction and the mean density of the earth|rivista=Comptes rendus de l'Académie des sciences|volume=76|pp=954–958|lingua=en}}</ref>. Eppure si sarebbe rivelata la conseguenza più notevole, come ebbe a dire nel 1892 lo scienziato [[Charles Vernon Boys|Charles V. Boys]]:
 
{{quote|A causa del carattere universale della costante G, mi pare che descrivere come obiettivo di questo esperimento la determinazione della massa della Terra o della sua densità media, o con minore precisione, del peso della Terra, sia un discendere dal sublime al ridicolo.|Charles Vernon Boys|Owing to the universal character of the constant G, it seems to me to be descending from the sublime to the ridiculous to describe the object of this experiment as finding the mass of the Earth or the mean density of the Earth, or less accurately the weight of the Earth.<ref>{{cita|Jungnickel & e McCormmach 1996|pp. 340|Jungnickel & McCormmach}}</ref>|lingua=en}}
 
== La scelta della montagna ==
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[[File:Chimborazofromwest.JPG|miniatura|Il vulcano [[Chimborazo]] visto da ovest]]
 
I primi a tentare l'esperimento erano stati due astronomi francesi di nome [[Pierre Bouguer]] e [[Charles Marie de La Condamine]], che avevano condotto le loro misure già nel [[1738]] sul vulcano [[Chimborazo]] in [[Ecuador]]<ref name="Poynting50-56">{{cita|Poynting 2012|pp. 50-56|Poynting, 2012}}</ref>{{#tag:ref|A quel tempo in realtà compreso nel [[Vicereame del Perù]]. Fonti contemporanee, d'altro canto, parlano di ''Spedizione Peruviana''<ref>{{cita pubblicazione|autore=Marie-Noëlle Bourguet|autore2=Christian Licoppe|url=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/ahess_0395-2649_1997_num_52_5_279622|editore=Persée - Revues Scientifiques|titolo= Voyages, mesures et instruments : une nouvelle expérience du monde au Siècle des lumières|pubblicazione=Annales. Histoire, Sciences Sociales. 52e année, N. 5, 1997|accesso=20 settembre 2014|pagina=1139|doi=10.3406/ahess.1997.279622|lingua=francese|}}</ref><ref name="Danson42">{{cita|Danson|p. 42}}</ref>.|group=N}}. La loro spedizione, in realtà, aveva lasciato la [[Francia]] per il [[Sud America]] nel 1735 per cercare di misurare la lunghezza dell'[[meridiano|arco meridiano]] ada un grado di [[latitudine]], vicino all'[[equatore]], ma approfittarono dell'occasione per tentare l'esperimento di deviazione del pendolo.
 
Nel dicembre del 1738, in condizioni molto difficili di terreno e di clima, condussero un paio di misurazioni alle altitudini di 4.680 e 4.340 m.<ref name="Poynting_1894">{{cita|Poynting 1894|pp. 12-22|Poynting, 1894}}</ref>, osservando e misurando l'angolo di deviazione del filo a piombo rispetto a dieci stelle particolarmente luminose, tra cui [[Sirio]] e [[Aldebaran]]. Si spostarono quindi quattro miglia verso ovest, lontano dall'effetto gravitazionale della montagna, e misurarono nuovamente la deviazione del filo a piombo rispetto alle stesse dieci stelle per stabilire ove restasse sulla verticale. A causa del freddo estremo, del maltempo e a vari problemi con gli strumenti, gli scienziati non raggiunsero la precisione sperata. Bouguer aveva inizialmente stimato che il filo a piombo sarebbe stato deviato di 1 [[primo (geometria)|minuto]] e 43 [[secondo (geometria)|secondi]] d'arco, ma la deviazione realmente osservata fu solo di 7 secondi, che risultò essere presumibilmente troppo piccola data l'attrazione gravitazionale che sarebbe dovuta risultare da una montagna di enormi dimensioni come il Chimborazo<ref name="Ferreiro">{{cita|Ferreiro 2013|pp. 152-153|Ferreiro}}</ref>. Bouguer scrisse in un articolo del [[1749]] che essi erano stati comunque in grado di rilevare alla fine una deviazione di 8 secondi d'arco, ma minimizzò il significato dei loro risultati, suggerendo che sarebbe stato meglio ripetere l'esperimento in condizioni meno estreme, magari in Francia o in Inghilterra<ref name="Sillitto"/><ref name="Poynting_1894"/>. Egli aggiunse inoltre che l'esperimento aveva almeno dimostrato che la Terra non poteva essere un [[Teoria della Terra cava|guscio vuoto]], come alcuni pensatori, tra cui [[Edmond Halley]], avevano suggerito in quegli anni<ref name="Poynting50-56"/>.
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Tra il 1763 e il 1767, durante le operazioni per tracciare la [[linea Mason-Dixon]] tra gli Stati della [[Pennsylvania]] e del [[Maryland]], gli astronomi inglesi riscontrarono molti più [[Errore sistematico|errori sistematici]] e non [[Errore statistico|casuali]] di quelli che normalmente ci si aspettava, allungando di molto rispetto al previsto il lavoro di rilievo<ref name="mentzer">{{Cita web|cognome=Mentzer|nome=Robert|titolo=How Mason and Dixon Ran Their Line|url=http://www.mdlpp.org/pdf/library/HowMasonandDixonRanTheirLine.pdf|formato=pdf|accesso=21 giugno 2014|urlarchivio=http://web.archive.org/web/20140107120247/http://www.mdlpp.org/pdf/library/HowMasonandDixonRanTheirLine.pdf|dataarchivio=7 gennaio 2014}}</ref>. Quando queste informazioni arrivarono ai membri della [[Royal Society]], [[Henry Cavendish]] si rese conto che il fenomeno poteva essere stato dovuto alla forza di attrazione gravitazionale dei monti Allegani, che aveva probabilmente deviato i fili a piombo dei [[teodolite|teodoliti]] e i liquidi nelle [[Livella#Livella a bolla|livelle a bolla]]<ref>Intervista a Simon Schaffer in ''The Cavendish Family in Science'', [[BBC Radio 4]], 20 maggio 2010.</ref><ref name="tretkoff">{{Cita web|url=http://www.aps.org/publications/apsnews/200806/physicshistory.cfm|titolo=This Month in Physics History June 1798: Cavendish weighs the world|cognome=Tretkoff|nome=Ernie|editore=[[American Physical Society]]|accesso=3 gennaio 2011}}</ref>. Fu però [[Nevil Maskelyne]] a proporre tenacemente dal 1772 alla Royal Society di procedere alla misurazione della forza gravitazionale indotta da una montagna che causava questa deformazione su un filo a piombo posto nelle vicinanze, sostenendo che l'esperimento «avrebbe fatto onore alla nazione dove sarebbe stato eseguito»<ref name="Sillitto"/>. Egli stesso propose [[North Yorkshire#Geografia|Whernside]] nello [[Yorkshire]], o il massiccio [[Blencathra-Skiddaw]] nel [[Cumberland (Regno Unito)|Cumberland]] come siti adatti. La Royal Society costituì una apposita commissione per esaminare la questione, nominando lo stesso Maskelyne, [[Joseph Banks]], [[Benjamin Franklin]] e [[Henry Cavendish]] tra i suoi membri<ref name="Danson115">{{cita|Danson 2005|pp. 115-116|Danson}}</ref><ref name="Crease90"/>.
 
Nell'estate del 1773 il comitato incaricò della ricerca di un luogo adatto ada eseguire l'esperimento tra l'Inghilterra e la [[Scozia]] l'astronomo e [[Topografia|perito topografo]] [[Charles Mason]]<ref name="Davies"/> — che era nel frattempo ritornato in patria dopo aver concluso i suoi rilievi nelle [[Tredici colonie|colonie americane]]. Mason selezionò la montagna di [[Schiehallion]], un picco di 1.083 metri di altezza tra [[Loch Tay]] e [[Loch Rannoch]], nelle [[Highlands]] scozzesi centrali<ref name="Danson115"/>. La montagna presentava il vantaggio di trovarsi isolata da qualsiasi collina vicina, che avrebbe disturbato la sua influenza gravitazionale, e la sua cresta est-ovest estremamente simmetrica avrebbe semplificato i calcoli. I suoi ripidi versanti settentrionali e meridionali avrebbero inoltre consentito che l'esperimento venisse eseguito vicino al suo centro di massa, massimizzando l'effetto di deformazione<ref>{{cita|Duffin, Moody, Gardner-Thorpe, 2013|p. 405|Duffin, Moody, Gardner-Thorpe}}</ref><ref>{{cita| Stoy &e Clube 1974|pp. 79|Stoy & Clube}}</ref>. Lo Schiehallion inoltre, diversamente dal Chimborazo, appariva secondo Maskelyne di costituzione omogenea, «estremamente solida e densa, e sembrava apparentemente composta da un'intera roccia»<ref name="Heering"/>.
 
Mason tuttavia rifiutò di eseguire il successivo lavoro di rilievo commissionatogli, declinando l'offerta di una [[ghinea]] al giorno<ref name="Danson115"/>. L'incarico passò quindi a Maskelyne, al quale fu concessa una dispensa temporanea dalle sue funzioni di astronomo reale. Egli fu aiutato nel suo compito dal matematico [[Charles Hutton]] e da [[Reuben Burrow]], un matematico del Reale [[Osservatorio di Greenwich]]. Operai furono impiegati per costruire osservatori per gli astronomi e assisterli nel rilevamento. Il team scientifico era particolarmente ben attrezzato: i loro strumenti astronomici includevano un [[Quadrante (astronomia)|quadrante]] in ottone da 12 [[Pollice (unità di misura)|pollici]] (30 cm), lo stesso utilizzato nel 1769 da [[James Cook]] durante il suo [[Primo viaggio di James Cook|primo viaggio]] per osservare il [[transito di Venere]] davanti al Sole, un [[telescopio zenitale]] da 10 piedi (3 m), e un [[Orologio a pendolo|orologio di precisione a pendolo]], usato come regolatore per cronometrare le osservazioni astronomiche<ref name="Danson146">{{cita|Danson 2005|p. 146|Danson}}</ref>. Essi avevano inoltre acquisito un [[teodolite]] ede una [[catena di Gunter]] per la rilevazione del monte, oltre che una coppia di [[barometro|barometri]] per misurare l'altitudine. Generosi finanziamenti per l'esperimento furono inoltre disponibili grazie alla sottoutilizzazione dei fondi concessi da re [[Giorgio III del Regno Unito]] per la spedizione per l'osservazione del transito di Venere<ref name="Davies"/><ref name="Sillitto"/>.
 
== Misurazioni ==
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[[File:Schiehallion angles.svg|destra|upright=1.3|alt=Un diagramma mostra un pendolo attirato leggermente verso una montagna. Un piccolo angolo si crea tra la vera verticale indicata da una stella e il filo a piombo.|miniatura|La deviazione è la differenza tra lo [[zenit]] reale <math>Z</math> determinato mediante [[astrometria]], e lo zenit apparente <math>Z'</math> determinato mediante un [[pendolo]]]]
 
Furono costruiti osservatori a nord e a sud della montagna, oltre che una baracca per ospitare le attrezzature e gli scienziati<ref name="Poynting_1894"/><ref group=N>Queste costruzioni sono oggi in rovina, ma i loro resti sono ancora visibili sul fianco della montagna.</ref>. La maggior parte della forza lavoro fu tuttavia alloggiata in spartane tende di tela ruvida. Le misurazioni astronomiche di Maskelyne per determinare le [[Astronomia sferica#Coordinate sferiche degli astri|distanze zenitali]]<ref group=N>La distanza zenitale <math>Z</math> è la distanza sferica tra lo zenit e l'astro, contata da 0° a 180°, dallo zenit verso l'astro. Per h positiva è il complemento dell'altezza (z=90°-h); per h negativa, la distanza zenitale è >90° (z=90°+depressione).</ref> rispetto alla linea a piombo per una serie di stelle nel momento preciso in cui ognuna passava verso sud<ref name="countingthoughts">{{cita web|url=http://www.countingthoughts.com/ct/wtw/notes.pdf|titolo=The "Weigh the World" Challenge 2005|data=23 aprile 2005|editore=Countingthoughts.com|tipo=PDF|accesso=11 giugno 2014|lingua=en}}</ref><ref name="Poynting56-59">{{cita|Poynting 2012|pp. 56-59|Poynting, 2012}}</ref> furono le prime ada essere condotte. Le condizioni meteo erano spesso sfavorevoli a causa di nebbia e pioggia, tuttavia, dall'osservatorio sud, Maskelyne fu in grado di prendere 76 misure su 34 stelle in una direzione e poi 93 osservazioni sulle 39 stelle nelle altre. Dal lato nord, condusse poi una serie di 68 osservazioni su 32 stelle ede una serie di 100 su altre 37<ref name="Poynting_1894"/>. Effettuando numerose serie di misurazioni con il piano del settore zenit prima verso est e poi verso ovest, evitò con successo eventuali errori sistematici derivanti dalla [[collimazione]] del settore<ref name="Davies"/>.
 
Per determinare la deviazione dovuta alla montagna, fu necessario tenere conto della curvatura della Terra: un osservatore avrebbe visto lo spostamento zenit locale con lo stesso angolo qualsiasi fosse stato il cambiamento di latitudine. Dopo i necessari aggiustamenti per compensare gli effetti sull'osservazione degli altri fenomeni astronomici, quali [[precessione]], [[aberrazione della luce]] e [[nutazione]], Maskelyne dimostrò che la differenza tra lo zenit localmente determinato per osservatori posti a nord e a sud dello Schiehallion era di 54,6 [[Secondo (geometria)|secondi di arco]]<ref name="Poynting 1894"/>. Dopo che la squadra di rilevamento aveva fornito una differenza di 42,94 secondi d'arco di latitudine tra le due stazioni, egli fu in grado di sottrarre questo valore e, dopo accurati arrotondamenti delle sue osservazioni, annunciò finalmente che la somma delle deviazioni nord e sud era 11,6 secondi d'arco<ref name="Sillitto"/><ref name="Poynting 1894"/><ref name="Maskelyne_results">{{cita pubblicazione|autore=Nevil Maskelyne|titolo=An Account of Observations Made on the Mountain Schehallien for Finding Its Attraction|data=1º gennaio 1775|rivista=Philosophical Transactions|editore=Royal Society Publishing|volume=65|pp= 500-542|doi=10.1098/rstl.1775.0050|lingua=en|url=http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/65/500.full.pdf+html}}</ref>.
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Hutton doveva infine calcolare le singole attrazioni dovute a ciascuno dei molti prismi che formavano la sua griglia, un processo laborioso come lo stesso rilievo. Il compito lo occupò per altri due anni prima di poter presentare i suoi risultati; cosa che fece in un documento di cento pagine alla Royal Society nel 1778<ref name="Hutton">{{cita pubblicazione|autore=Charles Hutton|titolo=An Account of the Calculations Made from the Survey and Measures Taken at Schehallien, in Order to Ascertain the Mean Density of the Earth|data=1º gennaio 1778|rivista=Philosophical Transactions|editore=Royal Society Publishing|volume=68|pp=689-788|doi=10.1098/rstl.1778.0034|lingua=en|url=http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/68/689.citation}}</ref>.
 
Hutton scoprì che l'attrazione sul filo a piombo da parte della Terra sarebbe stata 9.933 volte quella della somma delle attrazioni della montagna alle stazioni nord e sud, se la densità della Terra e dello Schiehallion fossero state uguali<ref name="Danson153-154"/>. Poiché la deviazione effettiva di 11,6 secondi di arco implicava un rapporto di 17,804:1 dopo aver considerato l'[[Campo gravitazionale terrestre#Accelerazione di gravità|effetto della latitudine sulla gravità]], fu in grado di affermare che la Terra aveva una densità media di <math>\tfrac{17.804}{9933}</math>, o di circa <math>\tfrac{9}{5}</math> volte la densità media della montagna<ref name="text-book"/><ref name="Danson153-154"/><ref name="Hutton"/>. Il lungo processo di indagine della montagna non influenzò quindi notevolmente l'esito dei calcoli di Maskelyne. Hutton determinò che la densità dello Schiehallion era di 2.500&nbsp;kg•m<sup>−3</sup>, e poté annunciare che la densità della Terra era <math>\tfrac{9}{5}</math> volte questo valore, o 4.500&nbsp;kg•m<sup>−3</sup><ref name="Danson153-154"/>. Rispetto al valore attualmente accettato ede ottenuto con mezzi moderni di 5515&nbsp;kg•m<sup>−3</sup><ref name="NASA"/>, la densità della Terra era stata calcolata con un errore inferiore al 20%. <!-- Citazione non necessaria: è un semplice calcolo aritmetico -->
 
Che la densità media della Terra fosse così notevolmente superiore a quello delle sue rocce superficiali significava naturalmente che ci doveva essere del materiale molto più denso che si trovava più in profondità. Hutton ipotizzò correttamente che il materiale del [[nucleo terrestre]] fosse probabilmente metallico, e potesse avere una densità di 10.000&nbsp;kg•m<sup>−3</sup><ref name="Danson153-154"/>. Egli stimò che questa porzione metallica dovesse occupare circa il 65% del diametro della Terra<ref name="Hutton"/>. Con il valore medio della densità media della Terra calcolato, Hutton fu in grado di assegnare alcuni valori assoluti alle densità dei pianeti a partire da quelli indicati sulle tavole planetarie di [[Jérôme Lalande]], che in precedenza si erano potuti esprimere solo in termini relativi<ref name="Hutton"/>.
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{{Vedi anche|Esperimento di Cavendish}}
 
Nonostante [[Henry Cavendish]] avesse preso parte alla commissione della Royal Society e fosse stato uno degli artefici principali della progettazione dell'esperimento, il fisico non fu soddisfatto delle procedure messe in atto dai suoi colleghi e del livello di accuratezza delle misurazioni. Cercò quindi per anni un modo per effettuare in laboratorio una misurazione della densità media della Terra, che fosse più diretta ede accurata<ref>{{cita|Crease 2007|p. 91|Crease}}</ref>. Nel 1798, 24 anni dopo lo Schiehallion, riuscì nell'impresa utilizzando una [[bilancia di torsione]] estremamente sensibile, per misurare l'attrazione tra grandi masse di [[piombo]]. Il valore ottenuto da Cavendish di 5.448&nbsp;±&nbsp;0,033&nbsp;kg•m<sup>−3</sup> si discostava solo dell'1,2% dal valore attualmente accettato di 5.515&nbsp;kg•m<sup>−3</sup>{{#tag:ref|In realtà, nell'articolo originale di Cavendish, appare come risultato 5.480&nbsp;kg•m<sup>−3</sup>. Tuttavia, nei suoi calcoli aveva commesso un errore aritmetico e 5.448&nbsp;kg·m<sup>−3</sup> era il valore reale delle sue misurazioni. Questo errore fu rilevato nel 1821 da [[Francis Baily]]<ref>{{cita|Poynting 1894|p. 45|Poynting, 1894}}</ref>.|group=N}}. Il suo risultato non sarebbe stato significativamente migliorato fino al 1895, quando Charles V. Boys ottenne un valore di 5.527&nbsp;kg•m<sup>−3</sup> con lo stesso dispositivo sperimentale di Cavendish ma migliorato con l'utilizzo di fibre di [[quarzo]] molto sottili<ref>{{cita|Jungnickel &e McCormmach 1996|pp. 340-341|Jungnickel & McCormmach}}</ref>.
 
[[John Playfair]] effettuò una seconda indagine allo Schiehallion nel 1811; considerando che gli strati di roccia della montagna fossero composti da materiali differenti, egli suggerì una densità compresa tra 4.560 e 4.870&nbsp;kg•m<sup>−3</sup><ref name="Ranalli">{{cita pubblicazione|autore=G. Ranalli|titolo=An Early Geophysical Estimate of the Mean Density of the Earth: Schehallien, 1774|anno=1984|rivista=Earth Sciences History|volume=3|numero=2|pp=149–152|issn=0736-623X|lingua=en|url=http://hess.metapress.com/content/k43q522gtt440172/}}</ref>, sebbene il già anziano Hutton difendesse vigorosamente il valore originale in un documento del 1821 indirizzato alla Society<ref name="Sillitto"/><ref>{{cita pubblicazione|cognome=Hutton|nome=Charles|data=1º gennaio 1821|titolo=On the mean density of the earth|rivista=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|volume=111|url=https://archive.org/details/jstor-107617|lingua=en}}</ref> i calcoli di Playfair avevano ottenuto un valore della densità molto più vicino a quello moderno, ma questo era ancora troppo basso e significativamente più impreciso di quello calcolato negli anni precedenti da Cavendish.<!-- Citazione non necessaria: è una deduzione immediata per confronto diretto dei valori riportati -->
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Nel 2005 si realizzò una variazione dell'esperimento del 1774: invece di calcolare le differenze locali nello zenit, l'esperimento fu svolto facendo un confronto molto accurato del periodo di un pendolo sia nella parte superiore che in quella inferiore dello Schiehallion. Il periodo di un pendolo è una funzione di ''[[Accelerazione di gravità|g]]'', l'accelerazione gravitazionale<ref group=N>In un pendolo semplice il periodo di oscillazione è legato a ''[[accelerazione di gravità|g]]'' come segue: <math>T = 2\pi\sqrt{\ell \over g}\,</math>
dove <math>\ell</math> è la lunghezza del pendolo. L'accelerazione di gravità ''g'' locale decresce con l'altezza, quindi il periodo aumenterà con la medesima.</ref>. Il pendolo dovrebbe funzionare più lentamente in quota, ma la massa della montagna agirà per ridurre questa differenza. Questo esperimento aveva il vantaggio di essere molto più facile da condurre di quello del 1774 ma, per ottenere la precisione desiderata, era necessario misurare il periodo del pendolo con un errore inferiore ada una parte su un milione<ref name="countingthoughts"/>. L'esperimento produsse un valore per la massa della Terra pari a 8,1&nbsp;±&nbsp;2,4<math>\times</math>10<sup>24</sup>&nbsp;kg<ref name="countingthoughts"/>, corrispondente ada una densità media di 7.500&nbsp;±&nbsp;1900&nbsp;kg•m<sup>−3</sup><ref group=N>Considerando il volume della Terra pari a 1.0832 × 10<sup>12</sup>km<sup>3</sup>.</ref>.
 
Un moderno riesame dei dati geofisici fu in grado di tener conto di elementi che la squadra del 1774 non poteva considerare. Con il beneficio di un [[modello digitale di elevazione]] del raggio di 120 km, si migliorò notevolmente la conoscenza della geologia dello Schiehallion e, con l'ausilio di un moderno calcolatore, una relazione del 2007 diede come risultato una densità media della Terra pari 5.480&nbsp;±&nbsp;250&nbsp;kg•m<sup>−3</sup><ref name="Smallwood">{{cita pubblicazione|autore=John R. Smallwood|titolo=Maskelyne's 1774 Schiehallion experiment revisited|data=aprile 2007|rivista=Scottish Journal of Geology|volume=43|pp=15-31|url=http://sjg.lyellcollection.org/content/43/1/15.short|doi=10.1144/sjg43010015|lingua=en}}</ref>. Comparandolo al moderno risultato di 5.515&nbsp;kg•m<sup>−3</sup>, si testimoniava l'estrema precisione delle osservazioni astronomiche di Maskelyne<ref name="Smallwood"/>.
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[[File:Schiehallion.svg|destra|miniatura|upright=1.3|Diagramma di forza dell'esperimento dello Schiehallion]]
 
Si faccia riferimento al [[Diagramma di corpo libero|diagramma di forza]] a destra, nel quale per semplicità di analisi è stata enormemente esagerata la deviazione del pendolo ed è stata considerata l'attrazione di un solo lato della montagna<ref name="Ranalli"/>. Un pendolo di massa <math>m</math> è collocato ada una distanza <math>d</math> dal [[centro di massa|centro di gravità]] <math>P</math> della montagna di massa <math>M_M</math> e [[densità]] ''<math>\rho_M</math>''. Esso viene deviato di un piccolo angolo <math>\theta</math> dovuto all'attrazione <math>F</math> verso <math>P</math> e dal suo peso <math>W</math> che punta al centro della Terra. Il [[Vettore (matematica)#Operazioni sui vettori|vettore somma]] delle forze <math>W</math> e <math>F</math> risulta essere la [[Tensione (meccanica)|tensione]] <math>T</math> della corda che sostiene il pendolo. La Terra possiede una massa <math>M_T</math>, raggio <math>r_T</math> e densità <math>\rho_T</math>.
 
Le due [[Interazione gravitazionale|forze gravitazionali]] esercitate sul pendolo sono date dalla [[legge di gravitazione universale]] di Newton:
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</math>
 
dove <math>G</math> è la [[costante di gravitazione universale]]. DividendoSi entrambeprenda leora grandezze,in considerazione il quoziente <math>\tfrac{F}{W}</math>; osservando che <math>G</math> e <math>m</math> possono essere eliminate, si ottiene:
 
: <math>
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</math>
 
dove <math>V_M</math> e <math>V_T</math> sono i volumi della montagna e della Terra, rispettivamente. In una situazione di [[Equilibrio meccanico|equilibrio]], le componenti verticali e orizzontali della tensione della corda <math>T</math> si possono relazionareessere messe in relazione con le forze gravitazionali e con l'angolo di deviazione <math>\theta</math>:
 
: <math>
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Sostituendo si ottienedesume che:
 
: <math>
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Noti i valori di <math>V_T</math>, <math>V_M</math>, <math>d</math> e <math>r_T</math>, misurando l'angolo di deviazione <math>\theta</math> e la distanza <math>d</math> si può otteneredeterminare un valore per il rapporto <math>\tfrac{\rho_T}{\rho_M}</math>, come si voleva<ref name="Ranalli"/>:
 
: <math>
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Esperimento_dello_Schiehallion"