Teorema diretto dei triangoli isosceli: differenze tra le versioni

L'enunciato del teorema di Euclide include una seconda conclusione, che se i lati uguali del triangolo sono prolungati sotto la base, allora gli angoli tra le estensioni e la base sono uguali. La dimostrazione di Euclide consiste nel definire le linee ausiliarie per queste estensioni. Ma, nel commentare Euclide, [[Proclo]] mette in evidenza che Euclide non usa mai la seconda conclusione e la sua dimostrazione può essere semplificata in qualche modo tracciando le linee ausiliarie ai lati del triangolo, mentre il resto della dimostrazione si esegue più o meno allo stesso modo. Ci sono state molte speculazioni e dibattiti sul perché Euclide abbia aggiunto la seconda conclusione al teorema, dal momento che rende la dimostrazione più complicata. Una spiegazione plausibile, data da Proclo, è che la seconda conclusione possa essere utilizzata in eventuali obiezioni alle dimostrazioni successive di proposizioni in cui Euclide non copre tutti i casi.<ref>Heath pp. 251-255</ref> La Dimostrazionedimostrazione si basa su quello che è oggi chiamato [[Criteri di congruenza dei triangoli|Lato-Angolo-Lato]], ovvero la proposizione precedente negli Elementi.

La variante di Proclo alla dimostrazione di Euclide procede come segue:<ref>Following Proclus p. 53</ref> sia <math>ABC</math> un triangolo isoscele con <math>AB</math> e <math>AC</math> i lati uguali. Si scelga un punto arbitrario <math>D</math> sul lato <math>AB</math> e si prenda il punto <math>E</math> su <math>CA</math> in modo che <math>AD \cong AE</math>. Tracciate le linee di <math>BE</math>, <math>DC</math> e <math>DE</math> si consideri i triangoli <math>BAE</math> e <math>CAD</math>, questi triangoli hanno <math>BA \cong AC</math>, <math>AE \cong AD</math>, e l'angolo <math>\hat{A}</math> coincidente, quindi per il criterio di congruenza lato-angolo-lato i triangoli <math>BAE</math> e <math>CAD</math> sono congruenti e pertanto i lati e gli angoli corrispondenti saranno congruenti: l'angolo <math> \widehat{ABE}</math> è uguale all'angolo <math>\widehat{ AC DACD}</math>, l'angolo <math>\widehat{ A D CADC} </math> è uguale all'angolo <math>\widehat{ A E B AEB}</math>, e <math>BE \cong CD</math>.

Dal momento che <math>AC \cong AB</math> e <math>AD \cong AE</math>, <math>BD \cong CE</math> per sottrazione di parti uguali. Si consideri ora i triangoli <math>DBE</math> e <math>ECD</math>; per essi <math>BD \cong CE</math>, <math>BE \cong CD</math>, e l'angolo <math> \widehat{D B EDBE} </math> è uguale all'angolo <math>\widehat{ E C DECD} </math> come è stato appena mostrato, quindi ancora per il criterio lato-angolo-lato, i triangoli sono congruenti: l'angolo <math>\widehat{ B D EBDE} </math> è uguale all'angolo <math>\widehat{ C E DCED} </math>. (La congruenza implica anche <math>DE \cong ED</math>, ma questo è evidente).

Poiché l'angolo <math>\widehat{ BD EBDE} </math> è uguale all'angolo <math>\widehat{ CE DCED} </math> e l'angolo <math>\widehat{ C D ECDE} </math> è uguale all'angolo <math>\widehat{ B E DBED} </math>, allora l'angolo <math>\widehat{ B D CBDC} </math> sarà uguale all'angolo <math>\widehat{ CE BCEB} </math> per sottrazione di parti uguali.

Consideriamo una terza coppia di triangoli, <math>BDC</math> e <math>CEB</math>; <math>DB \cong CE</math>, <math>DC \cong EB</math>, e l'angolo <math>\widehat{ B D CBDC} </math> uguale all'angolo <math>\widehat{ C E BCEB} </math>, quindi applicando lato-angolo-lato una terza volta, si dimostra che i due triangoli sono congruenti. In particolare, l'angolo <math>\widehat{ C B DCBD} \cong \widehat{B C EBCE} </math>, come volevasi dimostrare.

Sia <math>ABC</math> un triangolo isoscele con <math>AB</math> e <math>AC</math> i suoi due lati congruenti. Si considerino i triangoli <math>ABC</math> e <math>ACB</math>, dove <math>ACB</math> è un secondo triangolo con vertici <math>\hat{A}</math>, <math>\hat{C}</math> e <math>\hat{B}</math> corrispondenti rispettivamente ai vertici <math>\hat{A}</math>, <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{C}</math> nel triangolo originale. Si avrà <math>AB \cong AC</math>, <math>AC \cong AB</math> e l'angolo <math>\hat{A}</math> uguale a se stesso, così per il criterio lato-angolo-lato, i triangoli <math>ABC</math> e <math>ACB</math> sono congruenti. In particolare l'angolo <math>\hat{B}</math> è congruente all'angolo <math>\hat{C}</math>.<ref>Heath p. 254 for section</ref>

La dimostrazione procede come segue:<ref>Following Wilson</ref> come prima consideriamo il triangolo <math>ABC</math> con <math>AB \cong AC</math>. Costruiamo la bisettrice dell'angolo <math>\widehat{BAC}\, </math> e prolungarla fino a incontrare il lato <math>BC</math> nel punto <math>X</math>. Nei triangoli <math>BAX</math> e <math>CAX</math> si ha <math>AB \cong AC</math>, <math>AX</math> coincidente. Inoltre l'angolo <math> B \hat{A} X \cong C \hat{A} X </math>, così, per il criterio lato-angolo-lato, <math>BAX</math> e <math>CAX</math> sono congruenti. Segue che gli angoli <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{C}</math> sono congruenti.

Il teorema diretto dei triangoli isosceli equivale al [[prodotto interno]] su numeri [[numero reale|reali]] o [[numero complesso|complessi]]. In questi spazi equivale a prendere dei vettori ''<math>x''</math>, ''<math>y''</math> e ''<math>z''</math> tali che<ref>J. R. Retherford, ''Hilbert Space'', [[Cambridge University Press]], 1993, page 27.</ref>

: <math> x + y + z = 0\text{ and }\|x\| = \|y\|,\, </math>

: <math> \|x - z\| = \|y - z\|.\, </math>

: <math> \|x - z\|^2 = \|x\|^2 - 2x\cdot z + \|z\|^2,\, </math>

: <math> x\cdot z = \|x\|\|z\|\cos\theta\, </math>

dove ''θ''<math>\theta</math> è l'angolo tra i due vettori, la conclusione di questa forma del teorema equivale a enunciare l'uguaglianza degli angoli.