Lemma di Poincaré: differenze tra le versioni

In [[analisi matematica]] e [[calcolo vettoriale]], il '''lemma di Poincaré''', il cui nome si deve a [[Jules Henri Poincaré]], afferma che se <math>XA \subset \R^n</math> è un sottoinsieme aperto e [[Spazio contraibile|contraibile]] allora ogni ''p''-[[forma differenziale]] chiusa e [[funzione liscia|liscia]] definita su <math>XA</math> è una forma differenziale esatta per ogni intero <math>p>0</math>.

Nel caso di [[campo vettoriale|campi vettoriali]], una forma chiusa corrisponde ad un [[campo irrotazionale]], in cui le derivate parziali incrociate delle componenti sono uguali. In tale contesto siil evidenziateorema mostra che l'irrotazionalità equivale alla [[forza conservativa|conservatività del campo]]; ovvero, se un campo vettoriale:

:<math>\barmathbf V(\barmathbf x) =(V_1(x_1, \dots x_n), \dots V_n(x_1, \dots x_n))</math>

è definito su un [[insieme aperto]] [[Insieme stellato|stellato]] <math>\vec A \subset \R^n</math> (o in un [[insieme semplicemente connesso]]), è della prima [[classe di continuità]], (ovvero <math>\barmathbf V \in C^1(\vec A)</math>), ed è irrotazionale:

:<math>\barmathbf V: \vec A \rightarrow \mathbb{R}^n \qquad \nabla \times \barmathbf V =\barmathbf 0</math>

allora il campo è conservativo, cioè esiste una funzione <math> U(\mathbf x) \in C^{n-1}(A) </math> detta [[potenziale]] tale che il suo [[gradiente]] è il campo:

:<math>\exist U(\bar x) \in C^{n-1}(\vec A) \bar V(\barmathbf x) = \nabla U(\barmathbf x)</math>