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== Considerazioni fisiche ==
Per dimostrare matematicamente ciò che accade quando ci si trova in presenza di una convessità, si calcoliamocalcola il potenziale elettrico per due sfere, una più piccola (di raggio <math>R_1</math>), ede una più grande (di raggio <math>R_2</math>). Il valore <math>R_1</math> è una rappresentazione della convessità locale della superficie su cui si trova anche <math>R_2</math>
<math>V_1= \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon_0 } \frac { Q_1 } { R_1 }</math> e <math>V_2= \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon_0 } \frac { Q_2 } { R_2 }</math> con ipotesi, appunto, di <math>R_2>R_1</math>.
LeSe le due sfere sifanno trovanoparte ovviamentedi per ipotesi allouno stesso potenzialeconduttore, essendoallora <math>R_1</math>si unatroveranno rappresentazioneallo dellastesso convessitàpotenziale della superficie totale su cui(le si trovapuò anchepensare <math>R_2</math>,unite perda cuiun le uniamo immaginariamente con unfilo conduttore su cui si assume che non si dispongano cariche). Risolvendo, in modo da avere <math>V_1 = V_2</math> e quindi,si risolvendoha:
<math>\frac {Q_1}{R_1} = \frac {Q_2}{R_2}</math>
AbbiamoIn appuratoquesto modo, è dimostrato che il rapporto tra la carica <math>Q</math> e il raggio <math>R</math> è costante a parità di potenziale. MaIn sequesto lemodo, caricheè sonodimostrato proporzionalmenteche minorisulla susuperficie superficia maggior curvatura (e più piccolepiccola) si dispone una carica minore rispetto alla superficie a minor curvatura. Diverso, noninvece, valeè loil stessodiscorso per la loro densità. Calcoliamodi carica: se si calcolano, infatti, le rispettive densità perdi carica superficiali delle singole sfere, singolasi sferaha:
<math>\sigma_1 = \frac {Q_1}{4 \pi R^2_1}</math> e <math>\sigma_2 = \frac {Q_2}{4 \pi R^2_2} </math>.
ValutiamoPoiché infinesi ilè rapportodimostrato che <math>\frac {\sigma_1Q_1}{R_1} = \frac {\sigma_2Q_2}{R_2}</math>, tenendoindicando presente il [[Teorema di Coulomb]] (cioè che il campo elettricocon <math>EK</math> èquesto proporzionalevalore, allasi densità <math>\sigma</math>)ha:
<math>\frac {\sigma_1} {\sigma_2} = \frac { Q_1 K}{4 \pi R^2_1} \frac {4 \pi R^2_2}{ Q_2 } = \frac { R_2 }{ R_1 }</math>, da cuie <math>\frac {\sigma_1}{\sigma_2} = \frac {E_1K}{E_2} =4 \fracpi {R_2}{R_1} </math>, cioè osserviamo che il [[campo elettrico]] è inversamente proporzionale al raggio delle sfere.
Si vede, quindi che la densità superficiale di carica è minore sulla seconda sfera. Tenendo presente il [[teorema di Coulomb]] (cioè che l'intensità del campo elettrico <math>E</math>, in prossimità della superficie di un conduttore, è proporzionale alla densità superficiale di carica <math>\sigma</math>) si ha che il campo elettrico è più intenso sulla sfera più piccola, che ha una densità di carica maggiore, il che dimostra la tesi.
Infine, si può anche valutare il rapporto <math>\frac {\sigma_1} {\sigma_2}</math>,
<math>\frac {\sigma_1} {\sigma_2} = \frac { Q_1 }{4 \pi R^2_1} \frac {4 \pi R^2_2}{ Q_2 } = \frac { R_2 }{ R_1 }</math>,
da cui (sempre per la proporzionalità del campo elettrico alla densità di carica superficiale di un conduttore, derivata dal [[teorema di Coulomb]]) segue che:
<math>\frac {\sigma_1}{\sigma_2} = \frac {E_1}{E_2} = \frac {R_2}{R_1}</math>
Da ciò si deduce la dimostrazione che il [[campo elettrico]] è inversamente proporzionale al raggio delle sfere.
==Voci correlate==
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