Autovettore e autovalore: differenze tra le versioni
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== Introduzione informale ==
[[File:Rotation illustration2.svg|right|thumb|<center>Esempio di trasformazione lineare: rotazione di una figura piana intorno a un punto
Il [[piano cartesiano]] e lo [[spazio euclideo]] sono esempi particolari di [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]]:
Un autovettore per la trasformazione lineare <math>L</math> è un vettore <math>\mathbf v \ne 0</math> che a seguito dell'applicazione di <math>L</math> non cambia la sua direzione, limitandosi ad essere moltiplicato per uno scalare <math>\lambda</math>, il rispettivo autovalore. Il vettore può quindi soltanto cambiare modulo (venendo amplificato o contratto) e verso (venendo ribaltato):
* se <math>\lambda > 0</math> il verso di <math>\mathbf v</math> rimane inalterato, mentre se <math>\lambda < 0</math> il verso di <math>\mathbf v</math> cambia
* se <math>| \lambda | = 1</math> il modulo di <math>\mathbf v</math> rimane inalterato, se <math>| \lambda | > 1</math> il modulo cresce, se <math>| \lambda | < 1</math> decresce.
Ad esempio, in una rotazione spaziale il vettore coincidente con l'[[asse di rotazione]] resta fisso: in altre parole, è un vettore che non cambia né direzione, né verso, né modulo, ed è quindi un autovettore con autovalore 1. I vettori perpendicolari all'asse, invece, ruotano di un certo angolo e cambiano direzione: ogni rotazione piana (di angolo diverso da <math>0</math> e <math>\pi</math>) non possiede autovettori.
[[File:Standing wave.gif|thumb|upright=1.2|Un'[[Onda (fisica)|onda]] stazionaria in una corda fissata agli estremi è una [[autofunzione]] della trasformazione data dallo scorrere del tempo.]]
Autovettori e autovalori sono definiti e usati in matematica e fisica nell'ambito di spazi vettoriali più complessi e astratti di quello tridimensionale della fisica classica. Questi spazi possono avere [[dimensione di Hamel|dimensione]] maggiore di 3 o addirittura infinita (un esempio è dato dallo [[spazio di Hilbert]]). Anche le possibili posizioni di una [[corda vibrante]] in una chitarra formano uno spazio di questo tipo: una vibrazione della corda è quindi interpretata come trasformazione di questo spazio e i suoi autovettori (più precisamente, le sue [[autofunzione|autofunzioni]]) sono le [[onda stazionaria|onde stazionarie]].
==Esempi==
=== 1° esempio ===
In una rotazione nello spazio tridimensionale un vettore che giace sull'[[asse di rotazione]] resta uguale prima e dopo la rotazione stessa: in altre parole tale vettore non cambia né direzione, né verso, né modulo ed è quindi un autovettore con autovalore 1. I vettori perpendicolari all'asse, invece, ruotano di un certo angolo e cambiano direzione: a meno di rotazioni di π o di 2π o di loro multipli, essi non sono autovettori.
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La figura a fianco illustra come cambia nel primo quadrante lo spazio bidimensionale a seguito della trasformazione operata dalla matrice A=<math>\bigl[ \begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr]</math> e come i vettori blu che hanno la stessa direzione del vettore <math>v_1=\bigl[ \begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \bigr]</math> e i vettori viola che hanno la stessa direzione del vettore <math>v_2=\bigl[ \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix} \bigr]</math> conservino la loro direzione anche dopo la trasformazione a differenza dei vettori in rosso che non hanno né la direzione di <math>v_1</math> né quella di <math>v_2</math>.
=== Esempi nel piano ===
Fra le trasformazioni del [[piano cartesiano]] <math>\R^2</math> si possono distinguere i seguenti casi speciali:
* [[rotazione (matematica)|Rotazione]] antioraria di angolo <math>\theta</math>. Se <math>\theta</math> non è un multiplo intero di <math>\pi</math> non esiste alcun autovettore, infatti ogni vettore viene ruotato e cambia di direzione. Se invece <math>\theta = k \pi</math>, con <math>k</math> intero dispari, ogni vettore viene trasformato nel suo opposto, quindi ogni vettore non nullo è autovettore della rotazione con autovalore <math>-1</math>. Se invece <math>k</math> è pari la trasformazione non è altro che l'identità, per cui ogni vettore non nullo è autovettore con autovalore <math>+1</math>.
:La rotazione può essere [[matrice di trasformazione|rappresentata]] dalla seguente matrice:
::<math>
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}
</math>
* [[riflessione (geometria)|Riflessione]] rispetto a una retta <math>r</math> passante per l'origine. I vettori in <math>r</math> restano fermi e sono quindi autovettori con autovalore <math>1</math>, mentre quelli della retta <math>s</math> perpendicolare a <math>r</math> e passante per l'origine vengono ribaltati, e quindi sono autovettori con autovalore <math>-1</math>. Non esistono altri autovettori.
:La riflessione, nel caso di retta r orizzontale, può essere [[matrice di trasformazione|rappresentata]] dalla seguente matrice:
::<math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}
</math>
* [[Omotetia]]. Ogni vettore viene moltiplicato per uno scalare <math>\lambda</math> e quindi tutti i vettori non nulli sono autovettori con autovalore <math>\lambda</math>.
:L'omotetia può essere [[matrice di trasformazione|rappresentata]] dalla seguente matrice:
::<math>
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda \\
\end{bmatrix}
</math>
* [[Proiezione ortogonale]] su una retta <math>r</math> passante per l'origine. I vettori su <math>r</math> restano fermi e quindi sono autovettori con autovalore <math>1</math>, mentre i vettori sulla retta <math>s</math> ortogonale a <math>r</math> e passante per l'origine sono mappati tutti sull'origine e quindi sono autovettori con autovalore <math>0</math>. Non ci sono altri autovettori.
:La proiezione ortogonale può essere [[matrice di trasformazione|rappresentata]] dalla seguente matrice:
::<math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
=== Esempi nello spazio ===
Non tutte le trasformazioni del piano e dello spazio ricadono in una delle 4 tipologie viste negli esempi del piano sopra riportate.
In generale, un [[endomorfismo]] di <math>\R^n</math> (cioè una [[trasformazione lineare]] di <math>\R^n</math> in sé) è rappresentabile tramite una [[matrice quadrata]] con ''n'' righe. Si consideri per esempio l'endomorfismo di <math>\R^3</math> indotto dalla matrice:
:<math>A =
\begin{bmatrix}
\; 0 & 1 & -1 \\
\; 1 & 1 & \; 0 \\
-1 & 0 & \; 1
\end{bmatrix}.
</math>
Se prendiamo il vettore <math>v_1</math>
:<math> v_1= \begin{bmatrix} \; 1 \\ \; 1 \\ -1 \end{bmatrix} </math>
ed eseguiamo la [[prodotto fra matrici|moltiplicazione fra matrice e vettore]] si vede che:
:<math>
A \begin{bmatrix} \; 1 \\ \; 1 \\ -1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} \; 2 \\ \; 2 \\ -2 \end{bmatrix}
= 2 \begin{bmatrix} \; 1 \\ \; 1 \\ -1 \end{bmatrix}
</math>
Quindi l'endomorfismo rappresentato da <math>A</math> ha un autovettore dato da <math>v_1</math> con autovalore 2.
Per trovare tutti gli autovalori dell'endomorfismo in esame bisogna scrivere il polinomio caratteristico di <math>A</math>. Poiché la trasformazione è già scritta in forma di matrice, si passa al punto 2 e si calcola il polinomio caratteristico:
:<math>p(x) = \det( A - xI) =
\begin{vmatrix}
-x & 1 & -1 \\
1 & 1-x & 0 \\
-1 & 0 & 1-x \end{vmatrix} = -x^3 + 2x^2 + x - 2 = -(x - 2) (x - 1) (x + 1)</math>
Quindi gli autovalori di <math>A</math> sono 2, 1 e −1.
I tre autovettori ortogonali sono:
:<math>v_1 = \begin{bmatrix}\; 1 \\ \;1 \\ -1 \end{bmatrix} \qquad v_2 = \begin{bmatrix}\; 0\;\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \qquad v_3 = \begin{bmatrix}\; 2 \\ -1 \\ \; 1 \end{bmatrix}</math>
Per quanto detto prima, la trasformazione assume una forma molto semplice rispetto a questa base: ogni vettore <math>x</math> in <math>\R^3</math> può essere scritto in modo unico come:
:<math>x = x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 </math>
e quindi si ha:
:<math>A x = 2x_1 v_1 + x_2 v_2 - x_3 v_3 </math>
Data infine una trasformazione lineare <math>T</math>, si è visto che se il polinomio caratteristico di <math>T</math> ha tutte le radici in <math>K</math> con molteplicità 1, allora <math>T</math> è diagonalizzabile. Se invece il polinomio caratteristico di <math>T</math> ha tutte le radici in <math>K</math> ma alcune di esse hanno molteplicità maggiore di 1, allora <math>T</math> non è necessariamente diagonalizzabile. Ad esempio la matrice:
:<math>A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -a & 1 \end{matrix} \right)</math>
che rappresenta la trasformazione della [[Monna Lisa|Gioconda]] in figura ha come polinomio caratteristico <math>(x-1)^2</math>, e non è diagonalizzabile per <math>a\neq 0</math>.
== Definizione ==
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=== Tensore d'inerzia ===
In [[Meccanica (fisica)|meccanica]], gli autovettori del [[momento di inerzia|tensore di inerzia]] definiscono gli assi principali di un corpo rigido. Il tensore di inerzia è una quantità chiave, necessaria per determinare la rotazione di un corpo rigido intorno al suo [[centro di massa|baricentro]]. Gli autovettori del tensore delle deformazioni definiscono gli assi principali di deformazione.
== Note ==
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