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Riga 15: :<math>\exp(x) \equiv e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots, </math> detta [[''serie esponenziale]]''. La definizione risulta ben posta poiché la [[serie di potenze]] [[serie#Convergenza assoluta\|converge in modo assoluto]] per ogni <math>x</math> (sia reale che complesso). Inoltre, la serie converge [[convergenza uniforme\|uniformemente]] su ogni [[insieme limitato\|sottoinsieme limitato]] del campo complesso e di conseguenza la funzione <math>\exp(x)</math> è [[funzione olomorfa intera\|differenziabile in senso complesso in ogni punto del piano complesso]]. In modo diverso, ma del tutto equivalente, si può definire la funzione esponenziale come il [[limite di una successione\|limite della successione]] Riga 147: Sia: :<math>u_n (t) = e^{int} \ </math> e sia: Riga 214: Nell'ambito delle algebre di Banach non commutative, come le algebre di matrici o operatori nello [[spazio di Banach]] o nello [[spazio di Hilbert]], la funzione esponenziale è spesso considerata come una funzione di argomento reale: : <math>f(t) = \mathrm e^{t A}, \ </math> dove ''<math>A''</math> è un elemento dell'algebra fissato e ''<math>t''</math> è un qualsiasi numero reale. Questa funzione possiede alcune importanti proprietà: : <math>f(s + t) = f(s) f(t) \qquad f(0) = 1 \qquad f'(t) = A f(t). \ </math> ===Esempio di calcolo=== Riga 280: == Algebra di Lie == La mappa esponenziale che manda un'[[algebra di Lie]] nel [[gruppo di Lie]] che dà origine ad essa possiede le proprietà dette sopra, e ciò giustifica la terminologia. Infatti, poiché ~~'''~~<math>\R~~'''~~</math> è l'algebra di Lie del gruppo di Lie di tutti i numeri reali positivi con la somma, l'ordinaria funzione esponenziale di argomenti reali è un caso speciale della situazione dell'algebra di Lie. Analogamente, poiché l'algebra di Lie <math>M(''n'', ~~'''~~\R~~'''~~)</math> di tutte le matrici quadrate appartiene al gruppo di Lie di tutte le matrici quadrate invertibili, la funzione esponenziale per le matrici quadrate è un caso speciale dell'algebra di Lie [[mappa esponenziale]]. == Doppia funzione esponenziale == Riga 289: ==Esempi== === Esempio fisico di funzione esponenziale === Un esempio semplice è quello di un oggetto lanciato ad una velocità ~~''v~~<~~sub~~math>0v_0</~~sub~~math>'' in un mezzo viscoso. Se supponiamo che la resistenza posta dal mezzo all'avanzamento dell'oggetto sia proporzionale alla velocità ''<math>v''</math> di quest'ultimo: :<math>F=-kv \, </math> Riga 297: :<math>ma = -k v, </math> ovvero: :<math>m \frac{dv}{dt} = -k v.</math> Riga 314: </math> Questa espressione converge rapidamente se ''<math>x''</math> è minore di 1. In caso contrario, è possibile utilizzare la seguente identità: Riga 322: </math> dove ''<math>z''</math> ~~= int(''x''),~~è la [[parte intera]] di <math>x</math>, <math>f = ''x'' - ''z''</math> e di conseguenza ''<math>z''</math> è un numero intero e ''<math>f''</math> è un numero reale minore di 1. ==Note== Riga 331: == Voci correlate == [[~~Funzioni~~Crescita ~~iperboliche~~esponenziale]] [[Decadimento esponenziale]]▼ [[e (costante matematica)]] [[Funzione iperbolica]] [[Logaritmo naturale]] [[Matrice esponenziale]] [[Serie ~~esponenziale~~di Fourier]]▼ [[~~Crescita~~Trasformata ~~esponenziale~~di Fourier]] ▲[[Decadimento esponenziale]] ▲[[Serie esponenziale]] == Altri progetti ==

Funzione esponenziale: differenze tra le versioni