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Regola del prodotto: differenze tra le versioni

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Nell'[[analisi matematica]], la '''regola del prodotto''' o '''regola di [[Gottfried Leibniz|Leibniz]]''' è una [[regola di derivazione]] che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi [[derivata]] <math>n</math>-esima del [[moltiplicazione|prodotto]] di <math>m</math> [[funzione (matematica)|funzioni]] <math>f</math> tutte derivabili mediante il [[coefficiente multinomiale]]:
 
:<math>\frac{\operatorname d^n}{{\operatorname dx}^n} \prod_{i=1}^m f_i = \sum_{\mathbf k=0}^n {n \choose \mathbf k} \prod_{i=1}^m f_i^{(n-k_i)}(x).</math>
:<math>\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ]
= \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx} f_i(x) \prod_{j\ne i} f_j(x) \right)
= \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right).</math>
 
==Enunciato semplice==
Line 18 ⟶ 21:
Raccogliendo <math>f(x+h)</math> e <math>g(x)</math> si ottiene
 
:<math>\lim_{h\to 0} f(x+h) \left[ \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right] \; + \; \lim_{h \to 0} g(x) \left[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right]</math>
 
Siccome <math>f(x)</math> è, per ipotesi, derivabile in <math>x</math>, quindi è qui anche [[continuità|continua]]: <math>\lim_{h\to 0} f(x+h) = f(x)</math>.
Si conclude per la (1) che:
 
:<math>\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x),</math>
 
:<math>\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x),</math>
 
e quindi:
 
:<math>f(x)g'(x) + f'(x)g(x) \ ,</math>
 
come volevasi dimostrare.
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:{|
|-
|<math>\operatorname d(fg)\, </math>
|<math>= (f + \operatorname df)(g +\operatorname dg) - fg</math>
|-
|
|<math>= f(\operatorname dg) + g(\operatorname df) + (\operatorname df)(\operatorname dg) </math>
|}
 
Siccome il termine <math>(\operatorname df)(\operatorname dg)</math> è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che
 
:<math>\operatorname d(fg) = f(\operatorname dg) + g(\operatorname df).</math>
 
Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale <math>\operatorname dx</math>, si ottiene
 
:<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dx} (fg) = f \left( \frac{\operatorname dg}{\operatorname dx} \right) + g \left( \frac{\operatorname df}{\operatorname dx} \right)</math>
 
che corrisponde nella [[notazione di Lagrange]] a:
Line 75 ⟶ 78:
più succintamente introducendo la [[produttoria]] e considerando le funzioni <math>{f_j(x)}</math> prive di zeri:
 
:<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dx} \prod_{i=1}^k f_i(x)
= \sum_{j=1}^k \frac{f'_j(x)}{f_j(x)} \prod_{i=1}^k f_i(x)</math>
 
Line 81 ⟶ 84:
Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per [[induzione matematica|induzione]] che
 
<math> {\operatorname d \over \operatorname dx} a x^n = nax^{n-1}</math>
 
per <math>n</math> [[numero intero|intero]] [[numero reale|positivo]]:<ref>per <math>n</math> non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni</ref> <math>x^n</math> in fondo è una produttoria di <math>n</math> funzioni uguali tutte uguali a <math>x</math>, per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di <math>n</math> elementi tutti uguali tra loro:
Line 95 ⟶ 98:
===Derivate successive===
Le [[derivata successiva|derivate successive]] <math>n</math>-sime del prodotto di due funzioni è:
:<math>\frac{\operatorname d^n}{{\operatorname dx}^n} f(x)g(x)= \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)}(x)\;g^{(k)}(x)</math><ref>Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un [[potenza (matematica)|esponente]] ma l'ordine di derivazione secondo la [[notazione di Lagrange]]</ref>
Il primo elemento è il [[coefficiente binomiale]].
 
====Applicazione polinomiale====
Proviamo a derivare due volte la funzione ''x<supmath>x^3</sup> e<sup>^x</supmath>''
{|
|<math>D^{(2)}[x^3e^x] </math>||<math>= {2 \choose 0} 6xe^x + {2 \choose 1} 3x^2e^x + {2 \choose 2}x^3e^x</math>|| (la derivata di ''e''<supmath>e^x</supmath> è sempre uguale a se stessa)
|-
| ||<math>= 1 \cdot 6xe^x + 2 \cdot 3x^2e^x + 1 \cdot x^3e^x</math>
|-
| ||<math>= 6xe^x + 6x^2e^x + x^3e^x</math>
Line 109 ⟶ 112:
 
come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:
:<math> {\operatorname d^n \over \operatorname dx^n} x^a = \frac{a!}{(a-n)!}x^{a-n}</math>
 
== Note ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Regola_del_prodotto"