Trottola: differenze tra le versioni
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- il gioco a volte dura tantissimo, e tutto sta nella bravura dei concorrenti, nella punta della trottola e nel legno di cui è fatta;<br/>
- l'obiettivo è distruggere la trottola dell'avversario; il vincitore terrà con sé la punta della trottola persa, e chi più colleziona questi "trofei di guerra" più è ''temuto''.<br/>
== Funzionamento ==
È possibile costruire un modello [[fisica|fisico]] del moto della trottola considerando il giocattolo come un [[corpo rigido]] di massa <math>m</math> e lunghezza <math>l</math> dotato di [[simmetria rotazionale]], il cui punto di contatto con il piano è fisso e sottoposto ad una [[forza di gravità]] costante di accelerazione <math>g</math>.
La simmetria rotazionale implica inizialmente che, detti <math>I_1</math>, <math>I_2</math> e <math>I_3</math> i valori del [[momento d'inerzia]] relativi a ciascuno dei tre [[asse principale d'inerzia|assi principali d'inerzia]] del corpo <math>(x',y',z')</math>, si abbia <math>I_1 = I_2</math>.
Dalla teoria degli [[angoli di Eulero]] <math>(\theta, \phi, \psi)</math>, ponendo <math>I_1=I_2</math>, si ricava l'espressione dell'energia cinetica <math>T</math> del corpo rigido essere
<math> T = \frac{I_1}{2}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin^2\theta)+\frac{I_3}{2}(\dot\psi + \dot\phi\cos\theta)^2 </math>
Sottraendo a <math>T</math> l'[[energia potenziale]] dovuta al campo gravitazionale, ricordando che la trottola è inclinata di un angolo <math>\theta</math> rispetto alla verticale si ottiene la [[lagrangiana]] del sistema
<math>\mathcal{L}=T-V = \frac{I_1}{2}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin^2\theta)+\frac{I_3}{2}(\dot\psi + \dot\phi\cos\theta)^2 - mgl\cos\theta</math>
Poiché le [[coordinata generalizzata|coordinate]] <math>\phi</math> e <math>\psi</math> sono [[coordinata ciclica|cicliche]], ovvero compaiono solo come derivate temporali nell'espressione della lagrangiana, i rispettivi [[momento generalizzato|momenti generalizzati]] si conservano e sono [[integrale primo|integrali primi]] del moto. Tali grandezze valgono
<math>L_z = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi} = \dot\phi(I_1\sin^2\theta + I_3\cos^2\theta) + \dot\psi I_3 \cos\theta</math>
<math>L_3 = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\psi} = \dot\phi I_3\cos\theta + \dot\psi I_3</math>
Sostituendo i valori dei momenti al posto di quelli delle velocità <math>\dot\phi</math> e <math>\dot\psi</math> nell'espressione di <math>E=T+V</math> si ricava la forma
<math>E = \frac{I_1}{2}\dot\theta^2 + mgl\cos\theta + \frac{(L_z - L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}</math>.
La quantità
<math>\dot\phi = \frac{(L_z - L_3\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}</math>
è la frequenza di [[precessione]] del moto della trottola, che può essere considerata in prima approssimazione (trascurando cioè il moto di nutazione che influisce su <math>\theta</math>) costante.
Nel calcolo di <math>E</math> si è trascurato il termine costante (e dunque ininfluente) <math>\frac{L_3^3}{2I_3}</math>.
===Nutazione===
Effettuando ora la sostituzione <math>u=\cos\theta</math> (<math>-1\le u\le 1</math>), ricordando la relazione [[trigonometria|trigonometrica]] <math>\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta = 1-u^2</math> e considerando <math>\dot{u}^2 = \dot\theta^2 \sin^2\theta = \dot\theta^2(1-u^2)</math>, da cui si ricava <math>\dot\theta^2 = \frac{\dot u^2}{1-u^2)</math> si ottiene per <math>E</math>:
<math>E= \frac{I_1}{2}\frac{\dot u^2}{1-u^2) + mglu + \frac{(L_z - L_3u)^2}{2I_1(1-u^2)}</math>
da cui, raccogliendo a fattor comune, svolgendo il quadrato e rinominando le costanti
<math>a = L_z/I_1\quad b = L_3/I_1 \quad \alpha = 2E/I_1 \quad \beta = 2mgl/I_1</math>
si ricava, raccogliendo,
<math>\dot{u}^2 = (\alpha-\beta u)(1-u^2)-(a-bu)^2</math>
Dallo studio del polinomio di terzo grado al secondo membro e imponendo la condizione di esistenza di <math>u</math> si evince l'esistenza di due radici reali <math>u_1</math> e <math>u_2</math> corrispondenti agli angoli <math>\theta_1</math> e <math>\theta_2</math> che fungono da punti di inversione del moto di [[nutazione]] della trottola, ovvero dell'oscillazione (parametrizzata da <math>\theta</math>) dell'angolo d'inclinazione della trottola.<ref>{{Cita libro|autore = Vladimir Igorevič Arnold|titolo = Metodi matematici della meccanica classica|anno = 2010|editore = Editori Riuniti University Press|città = Roma|wkautore = Vladimir Igorevič Arnol'd|pp = 148–159}}
==Note==
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