Serie convergente: differenze tra le versioni

In [[matematica]], una '''serie convergente''' è una [[serieSerie (matematica)|serie]] tale che il [[Limite (matematica)|limite]] delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione ''a<submath>na_i</submath>'', la serie <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> è convergente se la successione delle somme parziali

:<math>S_n=\sum_{i=0}^n a_i,</math>

ha un limite finito, cioè se esiste ''<math>S''</math> tale che per ogni <math>\varepsilon>0</math> esiste ''<math>N''</math> tale che per ogni ''<math>n>N''</math>

:<math>|S_n-S|<\varepsilon.</math>

Il numero ''<math>S''</math> è detto '''somma''' della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

Una serie non convergente non è necessariamente detta ''[[serie divergente|divergente]]'', ad esempio la serie <math>\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i</math> non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori <math>-1</math> e <math>1</math> e quindi non ammette limite.

*Un esempio tipico di serie convergente è la [[serie geometrica]] di parametro ''<math>q''<1</math>: ad esempio

*:<math>\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots=\sum_{ni=0}^\infty\frac{1}{2^ni}=2,</math>

*:<math>\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots = \sum_{ni=1}^\infty\frac{1}{ni^2}=\frac{\pi^2}{6},</math>

*:<math>\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5} -\cdots = \sum_{ni=0}^\infty(-1)^ni\frac{1}{2n2i+1}=\frac{\pi}{4},</math>

*Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei [[numeroNumero primo|numeri primi]] ([[Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi|dimostrazione]]):

*:<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots = \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p},</math>

:<math>\sum_{i=0}^\infty |a_i|,</math>

:<math>b_nb_i=\begin{cases}a_na_i \mathrm{~se~}a_na_i>0\\ 0\mathrm{~altrimenti}\end{cases}</math>

:<math>c_nc_i=\begin{cases}-a_na_i \mathrm{~se~}a_na_i<0\\ 0\mathrm{~altrimenti}\end{cases}</math>

risulta evidente che le loro serie <math>\sum_{i=0}^\infty b_i</math> e <math>\sum_{i=0}^\infty c_i</math> sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di ''|a<submath>n|a_i|</submath>|''. Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché <math>a_na_i=b_nb_i-c_nc_i</math>

*:<math>-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots = \sum_{ni=1}^\infty(-1)^ni\frac{1}{ni},</math>

*:<math>\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots = \sum_{ni=1}^\infty+ \frac{1}{ni},</math>

Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se <math>S_n>S_{n-1}</math> per ogni ''<math>n''</math> sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.

Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il [[criterio del confronto]]: se <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> e <math>\sum_{i=0}^\infty b_i</math> sono due serie a termini positivi tali che <math>b_i>a_i</math> per ogni ''<math>n''</math> sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.

Altri criteri molto usati sono il [[criterio del rapporto]] e il [[criterio della radice]]: nel primo si studia il comportamento della quantità <math>\frac{a_{ni+1}}{a_na_i}</math>, mentre nel secondo della quantità <math>\sqrt[ni]{a_na_i}</math> al tendere di ''n''<math>i</math> a infinito<math>+\infty</math>. In entrambi i casi, se questo limite è minore di <math>1</math> la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è uguale a <math>1</math> il criterio fallisce e non dà informazioni sul comportamento della serie.

Per serie a termini di segno alterno è disponibile il [[criterio di Leibniz]], il quale afferma che se ''a<submath>na_i</submath>'' tendeè a 0,decrescente e ''tende a <submath>n0</submath>'' è decrescente, allora la serie <math>\sum_{i=0}^\infty (-1)^ia_ii a_i</math> converge.