Differenze tra le versioni di "Divisione per zero"

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In [[matematica]], una '''divisione per zero''' è una [[divisione (matematica)|divisione]] della forma <math>\frac{a}{0}</math>. Il risultato ''non esiste'' (cioè l'espressione non ha significato) in [[aritmetica]] e in [[algebra]].
 
È piuttosto diffusa l'errata opinione per cui il valore di <math>\frac{a}{0}</math> sarebbe <math>\infty</math> ([[infinito (matematica)|infinito]]). Questa affermazione fa riferimento, in modo non del tutto corretto, a una interpretazione della divisione in termini della teoria dei [[Limite (matematica)|limiti]] dell'[[analisi matematica]].
 
Esistono comunque particolari strutture matematiche all'interno delle quali la divisione per zero potrebbe essere definita in modo consistente (per esempio, la [[sfera di Riemann]]).
È generalmente stabilito fra i matematici che un modo naturale per interpretare la divisione per zero è di prima definire la divisione in termini di altre operazioni aritmetiche. Stando alle normali regole per l'aritmetica su [[Numero intero|interi]], [[numeri razionali]], [[numeri reali]] e [[numeri complessi]], il valore di una divisione per zero è ''indefinito'', così come in un qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il motivo è che la [[divisione (matematica)|divisione]] è definita in modo da essere l'operazione inversa della [[moltiplicazione]]. Questo significa che il valore di
 
: <math>{a \over b},</math>
 
è la soluzione ''<math>x''</math> dell'equazione
 
: <math>b x = a,</math>
 
qualora un tale valore esista e sia unico. In caso contrario l'espressione <math>{a \over b}</math> è indefinita.
 
Per ''<math>b'' = 0</math>, l'equazione ''<math>bx'' = ''a''</math> può essere riscritta come 0''x'' <math>0x= ''a''</math> o semplicemente <math>0 = ''a''</math>. Quindi, in questo caso, l'equazione ''<math>bx'' = ''a''</math> ha ''nessuna soluzione'' se ''<math>a''</math> è diverso da <math>0</math>, e ne ha ''infinite'' se ''<math>a''</math> è uguale a <math>0</math>. In entrambi i casi, <math>{a \over b}</math> è indefinito. Al contrario, per i sistemi numerici menzionati sopra, l'espressione <math>{a \over b}</math> è ''sempre'' definita se ''<math>b''</math> non è uguale a zero.
 
===Dimostrazioni fallaci basate sulla divisione per zero===
È possibile nascondere una divisione per zero in una dimostrazione [[algebra|algebrica]], portando ad un [[sofisma algebrico]] simile a <math>2 = 1</math> come segue:
 
* Per ogni numero reale ''<math>x''</math>:
::<math> x^2 - x^2 = x^2 - x^2.</math>
 
* Scomponendo entrambi i membri in modo diverso:
::<math> (x - x)(x + x) = x(x - x).</math>
 
<small>(Il termine di sinistra è ottenuto come caso particolare della ben nota regola <math>(a + b)(a - b)=(a^2 - b^2)</math>; quello di destra semplicemente raccogliendo <math>x</math> a fattor comune)</small>
 
* Dividendo entrambi i membri per ''<math>x'' − ''-x''</math>:
::<math> x + x = x.</math>
 
* Poiché questo è valido per ogni valore reale di ''<math>x''</math> possiamo sostituire ''<math>x'' = 1</math>.
::<math> 2 = 1.</math>
 
La [[fallacia]] è nell'assumere che la divisione per ''<math>x'' − ''-x'' = 0</math> sia definita.
 
In pratica, la divisione per un termine in una qualunque dimostrazione algebrica richiede o una esplicita assunzione che il termine non sia mai zero o una separata giustificazione che mostri che tale termine non possa mai essere zero.
 
===Algebra astratta===
Simili proposizioni sono vere in strutture algebriche più generali, come in un [[anello (algebra)|anello]] o in un [[campo (matematica)|campo]]. In un campo, ogni elemento non zero è invertibile sotto la moltiplicazione, così, come sopra, la divisione pone problemi solo durante la divisione per zero. In altri anelli, però, anche la divisione per elementi non zero può porre problemi. Consideriamo, per esempio, l'anello '''<math>\Z'''/6'''\Z'''</math> degli interi modulo <math>6</math>. Quale significato dobbiamo dare all'espressione
 
: <math>{2 \over 2}.</math>
 
Questa dovrebbe essere la soluzione ''<math>x''</math> dell'equazione
 
: <math>2x =\equiv 2 \quadpmod 6.</math>
 
Ma l'equazione ha due distinte soluzioni, ''<math>x'' =\equiv 1 \pmod 6</math> e ''<math>x''\equiv =4 4\pmod 6</math>. per cui l'espressione è indefinita. Il problema sorge poiché <math>2</math> non è invertibile rispetto alla moltiplicazione.
 
== Limiti e divisione per zero==
Ad un primo acchito, potrebbe sembrare possibile definire <math>{a \over 0}</math> considerando il [[limite (matematica)|limite]] di <math>{a \over b}</math> con ''<math>b''</math> che tende a <math>0</math>.
 
Con ''<math>b''</math> che tende a <math>0</math> da destra (positivo), per ogni ''<math>a''</math> maggiore di zero (positivo), è noto che:
 
:<math>\lim_{b \to 0{^+}} {a \over b} = {+}\infty,</math>
 
invece per ogni ''<math>a''</math> minore di zero (negativo),
 
:<math>\lim_{b \to 0{^+}} {a \over b} = {-}\infty.</math>
 
studiandoStudiando invece il limite con ''<math>b''</math> che tende a <math>0</math> da sinistra (negativo),
 
per ''<math>a''</math> positivo
 
:<math>\lim_{b \to 0{^-}} {a \over b} = {-}\infty,</math>
 
e per ''<math>a''</math> negativo
 
:<math>\lim_{b \to 0{^-}} {a \over b} = {+}\infty.</math>
 
illustrato meglioTuttavia usando l'equazione
 
:<math>+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty,</math>
che porta appunto al risultato +∞ = −∞ (certo errato perché scaturito dalla diversità del limite destro e sinistro).
 
Si potrebbe anche condurre uno studio considerando un "infinito senza segno", ma la definizione che ne risulterebbe non sarebbe generalmente utile.
si giunge al risultato errato <math>+\infty=-\infty</math> (che è scaturito dal non considerare la diversità del limite destro e sinistro in <math>0</math>). Si potrebbe anche condurre uno studio considerando un "infinito senza segno", ma la definizione che ne risulterebbe non sarebbe generalmente utile e non sarebbe compatibile con la struttura dei numeri reali di [[campo ordinato]].
 
L'equazione
:<math>0 \, x = a</math>
 
:<math>0 \, x 0x= a,</math>
ancora non possiede soluzione per ogni ''a'' finito.
 
ancora non possiede soluzione per ogni <math>a</math> finito. Inoltre, non vi è nessuna definizione ovvia di <math>{0 \over 0}</math> che possa essere derivata considerando il limite di una divisione. Il limite
 
:<math> \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b} </math>
 
non esiste. Limiti nella forma
 
:<math> \lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)} ,</math>
nei quali sia ''f(x)'' e ''g(x)'' tendono a 0 quando ''x'' tende a 0, possono convergere a qualunque valore o neppure convergere. Vedere la [[regola di De L'Hôpital]] per discussioni ed esempi sui limiti di rapporti.
 
nei quali sia ''<math>f(x)''</math> e ''<math>g(x)''</math> tendono a <math>0</math> quando ''<math>x''</math> tende a <math>0</math>, possono convergere a qualunque valore o neppurenon convergere affatto. Vedere la [[regola di De L'Hôpital]] per discussioni ed esempi sui limiti di rapporti.
 
==In analisi matematica==
Nella [[teoria delle distribuzioni|teoria distributiva]] si può estendere la funzione
 
:<math>{1 \over x},</math>
 
ad una [[distribuzione (matematica)|distribuzione]] sullo spazio intero dei numeri reali (utilizzando il [[valore principale di Cauchy]]). Non ha comunque senso chiedere il 'valore' di questa distribuzione con <math>x = 0</math>; una risposta sofisticata si appoggia al [[supporto singolare]] della distribuzione.
==Aritmetica dei calcolatori==
[[File:TI86 Calculator DivByZero.jpg|thumb|Tentativo di effettuare una divisione per zero su una [[calcolatrice grafica]].]]
Nello standard [[IEEE 754]] per la virgola mobile, supportato da praticamente tutti i moderni [[processore|processori]], viene specificato che ogni operazione aritmetica in [[virgola mobile]], compresa la divisione per zero, ha un risultato ben definito. Nell'aritmetica IEEE 754, ''<math>a''/0</math> è infinito positivo quando ''<math>a''</math> è positivo, infinito negativo quando ''<math>a''</math> è negativo, e [[NaN]] (''not a number'') quando ''<math>a'' = 0</math>. Queste definizioni derivano dalle proprietà dei limiti di rapporti, come discusso sopra.
 
La divisione intera per zero è generalmente gestita differentemente poiché non vi è una rappresentazione intera per il risultato. La maggior parte dei processori genera una [[eccezione (informatica)|eccezione]] quando viene tentata la divisione intera per zero. Il risultato è tipicamente la terminazione del programma anche se in alcuni casi (specialmente quelli che impiegano l'aritmetica a [[virgola fissa]] nel caso in cui non sia disponibile hardware dedicato per la virgola mobile) viene impiegato un comportamento simile allo standard IEEE, utilizzando grandi numeri positivi e negativi per approssimare gli infiniti.