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Polinomio di Čebyšëv: differenze tra le versioni

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IIn [[matematica]], i '''polinomi di Čebyšëv''' sono le componenti di una [[successione polinomiale]] che inizia con i seguenti polinomi:
 
:<math> T_0(x) = 1 </math>
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Traggono il loro nome dal matematico russo [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv]], che li studiò come soluzioni polinomiali della seguente [[equazione differenziale]], anch'essa detta di Čebyšëv:
 
:<math>(1-x^2)\, y'' - x\,yxy' + n^2\, y = 0.</math>
 
I polinomi che esaminiamo sono detti anche '''polinomi di Čebyšëv di prima specie''', per distinguerli dai polinomi di un'altra successione polinomiale detti [[polinomi di Čebyšëv di seconda specie]].
 
Evidentemente i polinomi di Čebyšëv hanno parità definita: i polinomi di grado pari sono [[funzione pari|funzioni pari]] della variabile ''<math>x''</math>, quelli di grado dispari sono [[funzione dispari|funzioni dispari]]; questo si accorda con l'invarianza dell'equazione differenziale rispetto alla trasformazione che scambia ''<math>x''</math> con ''−x''<math>-x</math>.
Una possibile definizione di questi polinomi è la seguente:
 
:<math>T_n(\cos(\theta)) := \cos(n\theta) \quad \mbox{per} \quad n = 0, 1, 2, 3, ... \ldots</math>
 
o in forma esplicita
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:<math> T_n(x) := \sum_{h=0}^{[n/2]} (-1)^h {n \choose 2h} x^{n-2h} (1-x^2)^h</math>
 
dove con <math>[n/2]</math> si intende la [[parte intera]] di <math>n/2</math>.
 
Che <math>\cos(nx)</math> sia un polinomio di grado <math>n</math> in <math>\cos(x)</math> può essere visto osservando che <math>\cos(''nx'')</math> è la parte reale di un membro della [[formula di De Moivre]], e la parte reale dell'altro membro è un polinomio in <math>\cos(''x'')</math> e <math>\sin(''x'')</math>, dove tutte le potenze del <math>\sin(''x'')</math> sono pari e rimpiazzabili tramite l'identità <math>\,\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)</math>.▼
 
Il polinomio ''T''<submath>''n''T_n</submath> ha esattamente ''<math>n''</math> radici semplici facenti parte dell'intervallo <math>[−1-1, 1]</math> chiamate [[nodi di Čebyšëv]].▼
Che cos(''nx'') sia un polinomio di grado ''n'' in cos(''x'')
▲può essere visto osservando che cos(''nx'') è la parte reale di un membro della [[formula di De Moivre]], e la parte reale dell'altro membro è un polinomio in cos(''x'') e sin(''x''), dove tutte le potenze del sin(''x'') sono pari e rimpiazzabili tramite l'identità <math>\,\sin^2(x) = 1 - cos^2(x)</math>.
 
Alternativamente i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti tramite la [[relazione di ricorrenza]]:▼
▲Il polinomio ''T''<sub>''n''</sub> ha esattamente ''n'' radici semplici facenti parte dell'intervallo [−1, 1] chiamate [[nodi di Čebyšëv]].
 
▲Alternativamente i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti tramite la [[relazione di ricorrenza]]
 
:<math>T_0(x) := 1 </math>
:<math>T_1(x) := x </math>
:<math>T_{n+1}(x) := 2xT_n(x) - T_{n-1}(x) .</math>
 
Essi costituiscono una successione di [[polinomi ortogonali]] rispetto alla funzione peso <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>, sull'intervallo <math>[-1,1]</math>, cioè, abbiamo▼
 
:<math>\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = 0\quad\mboxtext{se }\ n\neq m.</math>▼
▲Essi costituiscono una successione di [[polinomi ortogonali]] rispetto alla funzione peso <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},</math>
sull'intervallo [−1,1], cioè, abbiamo
 
Questo succede perché (ponendo ''<math>x'' = \cos θ\theta</math>)▼
▲:<math>\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = 0\quad\mbox{se}\ n\neq m.</math>
 
:<math>\int_0^\pi\cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta = 0\quad\mboxtext{se }\ n\neq m.</math>▼
▲Questo succede perché (ponendo ''x'' = cos θ)
▲:<math>\int_0^\pi\cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta = 0\quad\mbox{se}\ n\neq m.</math>
 
Come per le altre successioni di polinomi ortogonali, anche i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti a partire da [[funzione generatrice|funzioni generatrici]]. Un esempio di una tale funzione generatrice è
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