Serie di Taylor: differenze tra le versioni
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[[File:Sintay.svg|thumb|Quando cresce il grado della serie di Taylor troncata, essa si avvicina alla funzione data ([[teorema di Bernstein]]). Questa figura mostra <span style="color:#333333">sin(x)</span> e le sue approssimazioni di Taylor, polinomi di grado <span style="color:red">1</span>, <span style="color:orange">3</span>, <span style="color:yellow">5</span>, <span style="color:green">7</span>, <span style="color:blue">9</span>, <span style="color:indigo">11</span> e <span style="color:violet">13</span>.]]
[[File:Taylorsine.svg|thumb|Funzione seno approssimata con una serie di Taylor di grado 7.]]
In [[analisi matematica]], la '''serie di Taylor''' di una [[funzione (matematica)|funzione]] in un punto è la rappresentazione della funzione come [[serie]] di termini calcolati a partire dalle [[derivata|derivate]] della funzione stessa nel punto.
== Definizione ==
La serie di Taylor di una [[funzione (matematica)|funzione]] ''f''(''x'') definita in un [[intervallo (matematica)|intervallo aperto]] (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'') a valori [[numero reale|reali]] o [[numero complesso|complessi]] e infinite volte [[funzione derivabile|derivabile]] è la [[serie di potenze]]
:<math>f(a)+\frac {f^{(1)}(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f^{(2)}(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots, </math>
che può essere scritta più compattamente come
:<math> \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.</math>
: Con la convenzione ''0! = 1''
Qui ''n''! denota il [[fattoriale]] di ''n'' ed ''f'' <sup>(''n'')</sup>(''a'') denota la ''n''-esima [[derivata]] della ''f'' valutata nel punto ''a''. Se ''a'' = 0, la serie viene chiamata anche '''serie di [[Colin Maclaurin|Maclaurin]]'''.
== Cenni storici ==
La serie di Taylor prende il nome dal [[matematico]] inglese [[Brook Taylor]] che pubblicò alcuni studi sulle serie di potenze nel [[1715]]. Esistono in realtà alcuni precedenti storici: alcuni casi particolari di queste serie furono forse sviluppati nel Quattrocento da [[Madhava di Sangamagramma]]; il suo lavoro, da ricondursi alla cosiddetta [[scuola del Kerala]], è andato perduto e l'ipotesi si basa su ricostruzioni storiche. [[James Gregory (astronomo)|Gregory]] invece pubblicò per certo varie serie di Maclaurin quando [[Brook Taylor|Taylor]] non era ancora nato, anche se sembra che quest'ultimo non ne fosse a conoscenza quando pubblicò i propri risultati.
== Proprietà ==
Se la serie di Taylor della funzione ''f''(''x'') converge per ogni ''x'' nell'intervallo (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'') e se la sua somma è uguale alla ''f''(''x''), questa funzione viene detta '''[[funzione analitica]]'''. Per verificare se la serie converge verso ''f''(''x''), normalmente si usa effettuare stime del termine resto che compare nel [[teorema di Taylor]]. Una funzione è analitica se e solo se può essere rappresentata da una [[serie di potenze]]; i coefficienti di una tale serie di potenze coincidono necessariamente con quelli che compaiono nella precedente formula per la serie di Taylor.
Le conseguenze pratiche dello sviluppo in serie di potenze di Taylor, nel caso in cui la funzione sia analitica, sono molteplici:
* La differenziazione e l'integrazione delle serie di potenze possono essere effettuate termine a termine ed è tendenzialmente piuttosto facile.
* Una funzione analitica può essere estesa univocamente ad una [[funzione olomorfa]] definita su un disco aperto nel [[numero complesso|piano complesso]] e questa possibilità rende disponibili tutti gli strumenti dell'[[analisi complessa]].
* Si può ''troncare'' la serie, cioè prendere solo i primi ''n'' termini e ottenere un [[polinomio]], detto '''polinomio di Taylor''', che approssima la funzione con la precisione desiderata (basta prendere ''n'' [[sufficientemente grande]]) in un intorno di ''a''.
* Spesso le operazioni algebriche sulle funzioni possono essere effettuate più rapidamente sulle loro rappresentazioni mediante serie di potenze; ad esempio la dimostrazione più semplice della [[formula di Eulero]] si ottiene dagli sviluppi in serie di Taylor per le funzioni esponenziale, seno e coseno. Questo risultato sta a fondamento ad esempio dell'[[analisi armonica]].
=== Funzioni non analitiche ===
[[File:Expinvsq.svg|thumb|La funzione <span style="color:#803300">e<sup>-1/x²</sup></span> si estende in 0 ad una funzione derivabile infinite volte, ma non [[funzione analitica|analitica]]: la serie di Taylor ha tutti i coefficienti nulli, mentre la funzione non è la funzione nulla.]]
Non tutte le funzioni differenziabili infinite volte sono analitiche. Esistono cioè delle ''f''(''x'') la cui serie di Taylor converge, ma che rappresenta una funzione drasticamente differente dalla ''f''(''x''). Ad esempio, la funzione definita a pezzi come ''f''(''x'') := exp(−1/''x''²) per ''x'' ≠ 0 ed ''f''(0) := 0: tutte le sue derivate in ''x'' = 0 sono nulle, quindi la sua serie di Taylor è la serie nulla e il suo [[raggio di convergenza]] è infinito, anche se la funzione è ben diversa dalla funzione nulla.
Questa particolare situazione "patologica" non si verifica nelle [[funzione olomorfa|funzioni olomorfe]], cioè nelle funzioni derivabili in ambito complesso. Nell'esempio specifico, la funzione exp(−1/''z''²) non è estendibile nell'origine nel campo complesso.
In ambito reale esistono anche situazioni molto più "patologiche" di quella dell'esempio precedente. La funzione definita dalla serie
<math>
f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {e^{ - n} \cos \left( {n^2 x} \right)}
</math>
è di classe <math> C^\infty \left( \mathbb R \right)</math>, ma la sua serie di Taylor risulta essere divergente in ogni punto diverso da <math>x = 0</math>.
=== Criteri di analiticità ===
Esistono teoremi che costituiscono condizioni sufficienti affinché una funzione reale di variabile reale e di classe <math>C^\infty</math> sia analitica. Tra questi si può ricordare il teorema di Bernstein. Esso afferma che se <math>f(x)</math> è di classe <math>C^{\infty}</math> e non negativa su <math>(-r,r)</math> insieme alle sue derivate di ogni ordine, allora
:<math>f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n \;\;\;\; \forall x \in (-r,r)</math>
Un'altra condizione sufficiente a garantire che una funzione di classe <math>C^\infty </math> sia rappresentata localmente dalla sua serie di Taylor è la seguente: se esistono <math>k>0</math> e <math> M>0 </math> tali che, per ogni <math>n</math> intero non negativo si abbia
:<math>| f^{(n)} (x)| \leq kM^n \;\;\;\;\forall x \in (-r,r)</math>
allora
:<math>f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n</math>
Un caso particolare del teorema lo si ha quando <math>M=1</math> cioè quando la funzione e tutte le sue derivate sono equilimitate su <math>(-r,r)</math>.
=== Serie di Laurent ===
{{vedi anche|serie di Laurent}}
La [[serie di Laurent]] è una generalizzazione della serie di Taylor, che contiene termini <math> x^n </math> anche con esponente <math> n </math> negativo. Questa serie è particolarmente utile in [[analisi complessa]] perché modellizza una [[funzione olomorfa]] intorno ad un punto in cui essa non è definita (cioè una ''singolarità''). La serie può comunque essere utilizzata anche in ambito reale, ad esempio per rappresentare la funzione ''f''(''x'') = exp(−1/''x''²) intorno all'origine.
== Teorema di Taylor ==
{{vedi anche|Teorema di Taylor}}
Il teorema di Taylor permette di approssimare una funzione mediante un polinomio: maggiore è il grado del polinomio, migliore sarà l'approssimazione che si ottiene. In termini più rigorosi, l'errore che si commette approssimando una funzione con il suo polinomio di Taylor è un infinitesimo di ordine superiore al grado del polinomio stesso.
== Serie di Taylor in più variabili ==
Uno sviluppo di Taylor che può considerarsi una generalizzazione del precedente si può applicare anche a funzioni di più di una variabile reale o complessa
:<math>
T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}\frac{
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d)
</math>
Oppure, riorganizzando i termini in una forma che mette in evidenza il grado di ognuno:
:<math>
T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{N=0}^{\infin} \sum_{n_1 + \cdots + n_d=N} \frac{
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{N}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d)
</math>
Lo sviluppo di Taylor troncato al secondo ordine per una funzione a valori scalari in più di una variabile si può scrivere nella seguente forma compatta:<math>
T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T (H f(\mathbf{a})) (\mathbf{x} - \mathbf{a})
</math> ,
dove <math>\nabla f(\mathbf{a})</math> denota il [[gradiente]] della funzione e <math>H f(\mathbf{a})</math> la sua [[matrice hessiana]]. Servendosi della [[notazione multi-indice]] la serie di Taylor per più variabili si scrive
:<math>
T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}
</math>
in completa analogia con il caso della singola variabile.
== Serie di Maclaurin ==
[[File:Exp series.gif|thumb|Funzione esponenziale approssimata con una successione di Maclaurin]]
Il risultato ottenuto tramite uno sviluppo di Taylor è quindi un'approssimazione di una funzione, nell'intorno di un punto ''x<sub>0</sub>'' con ''x<sub>0</sub>'' [[numero reale]] o [[numero complesso]].
Uno sviluppo di Taylor in cui x<sub>0</sub> sia uguale a 0 è definito ''sviluppo di [[Colin Maclaurin|Maclaurin]]''. Il polinomio che si ottiene è l'approssimazione di ordine n di f(x) intorno a 0
<math>f(x) = f(0) + f^'(0) x+ {{f^{''}(0)}\over{2!}}x^2 + {{f^{'''}(0)}\over{3!}}x^3+...+{{f^{(n)}(0)}\over{n!}}x^n + R_n(x)</math>.
I seguenti sono alcuni importanti sviluppi in serie di Maclaurin. Tutti questi sviluppi sono validi anche per argomenti ''x'' complessi.
[[Funzione esponenziale]] e [[logaritmo naturale]]:
:<math>\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\text{ per ogni } x</math>
:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}n x^n\quad\text{ per } \left| x \right| < 1</math>
[[Serie geometrica]]:
:<math>\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\text{ per } \left| x \right| < 1</math>
[[Sviluppo binomiale]]:
:<math>(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\text{ per ogni } \left| x \right| < 1\quad\text{ e ogni numero complesso } \alpha</math>
in cui il fattore <math>{\alpha \choose n}</math> rappresenta il [[coefficiente binomiale]].
'''Casi particolari''':
:<math>\sqrt{1+x}=1+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k-1)!!}{(2k+2)!!}x^{k+1}=1+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{\Gamma(\frac{1}{2}+k)}{2\sqrt{\pi}\,\Gamma({2+k})}x^{k+1}</math>
:<math>\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k+1)!!}{(2k+2)!!}x^{k+1}=1+\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\Gamma(\frac{3}{2}+k)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma({2+k})}x^{k+1}</math>
[[Funzioni trigonometriche]]:
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\text{ per ogni } x</math>
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\text{ per ogni } x</math>
:<math>\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\text{ per } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>
:<math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\text{ per } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>
:<math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{ per } \left| x \right| < 1</math>
:<math>\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\text{ per } \left| x \right| < 1</math>
[[Funzioni iperboliche]]:
:<math>\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\text{ per ogni } x</math>
:<math>\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\text{ per ogni } x</math>
:<math>\tanh\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\text{ per } \left|x\right| < \frac{\pi}{2}</math>
:<math>\operatorname{arsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\text{ per } \left| x \right| < 1</math>
:<math>\operatorname{artanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\text{ per } \left| x \right| < 1</math>
[[Funzione W di Lambert]]:
:<math>W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\text{ per } \left| x \right| < \frac{1}{\mathrm{e}}</math>
I numeri ''B''<sub>''k''</sub> che compaiono negli sviluppi di tan(''x'') e tanh(''x'') sono i [[numeri di Bernoulli]]. Lo sviluppo binomiale si serve dei [[coefficienti binomiali]]. Gli ''E''<sub>''k''</sub> nello sviluppo della sec(''x'') sono i [[numeri di Eulero]]. Il simbolo ''n''!! nello sviluppo binomiale indica il [[fattoriale#Semifattoriale o doppio fattoriale|semifattoriale]].
== Calcoli delle serie di Taylor ==
Sono stati sviluppati molti metodi per il calcolo delle serie di Taylor per le molte funzioni analitiche utilizzate nella matematica e nelle sue applicazioni. Una strada consiste nell'utilizzare la serie di Taylor attraverso la sua definizione e generalizzare la forma dei coefficienti. Un'altra procede ad eseguire manipolazioni formali, come sostituzioni, moltiplicazioni o divisioni, addizioni o sottrazioni di serie di Taylor note per costruire la serie di Taylor di nuove funzioni, sfruttando le possibilità di manipolazione delle serie di potenze; in questo ambito può rivelarsi utile fare riferimento ai risultati riguardanti le [[serie ipergeometriche]], i [[polinomi ortogonali]] e il [[calcolo umbrale]]. In taluni casi si riescono a derivare serie di Taylor applicando ripetutamente l'[[integrazione per parti]].
Va anche osservato che per effettuare molte di queste elaborazioni possono essere molto utili gli odierni strumenti per il calcolo simbolico automatico.
Presentiamo ora due esempi di calcoli manuali. Cerchiamo di individuare la serie di Taylor centrata in 0 della funzione
: <math>f(x)=\ln{(1+\sin{x})}.</math>
Si parte dalla considerazione che
:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - {x^2\over 2}+{x^3 \over 3} - {x^4 \over 4} + \cdots \quad\mbox{ per } \left| x \right| < 1 </math>
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x -{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-\cdots </math>
Ora si può semplicemente sostituire la seconda serie nella prima ottenendo
: <math>\left(x -{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-\cdots \right) - {1\over 2} \left(x -{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-\cdots \right)^2 + {1\over 3}\left(x -{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-\cdots\right)^3 - {1\over 4}\left(x -{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-\cdots\right)^4 + \cdots</math>
Sviluppando un adeguato numero di potenze mediante i [[coefficiente multinomiale|coefficienti multinomiali]] si ottengono i primi termini della serie di Taylor richiesta:
:<math> f(x) = x - \frac 1 2 x^2 + \frac 1 6 x^3 + \ldots </math>
Come secondo esempio consideriamo la funzione
: <math>g(x)={x\,\mathrm{e}^x \over \sin{x}}</math>
che si estende ad una [[funzione continua]] e [[funzione derivabile|derivabile]] nell'origine.
Sappiamo che
: <math>\mathrm{e}^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots </math>
: <math>\sin{x} = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots </math> .
Di conseguenza
: <math>{x\,\mathrm{e}^x \over \sin{x}} = { 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots \over 1 - {x^2 \over 3!} + {x^4 \over 5!} - \cdots} </math> .
Scriviamo la serie di potenze richiesta nella forma
: <math>c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + \cdots = {1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots \over 1 - {x^2 \over 3!} + {x^4 \over 5!} - \cdots} </math> ;
Per questi coefficienti si trova
:: <math> 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots =</math>
: <math> = \left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + \cdots\right)\left(1 - {x^2 \over 3!} + {x^4 \over 5!} - \cdots\right) </math>
: <math>=c_0 - {c_0 \over 3!}x^2 + {c_0\over 5!}x^4 + c_1x - {c_1 \over 3!}x^3 + {c_1\over 5!}x^5 + c_2 x^2 - {c_2 \over 3!} x^4 + {c_2 \over 5!} x^6 + c_3x^3-{c_3\over 3!}x^5 + c_4 x^4 + \cdots </math>
: <math>=c_0 + c_1x + c_2 x^2 - {c_0 \over 3!}x^2 + c_3x^3- {c_1 \over 3!}x^3 + c_4 x^4 - {c_2 \over 3!} x^4 + {c_0 \over 5!} x^4 + \cdots </math>
In conclusione
:: <math> 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots =</math>
: <math>=c_0 + c_1x + \left(c_2 - {c_0 \over 3!}\right)x^2 + \left(c_3-{c_1 \over 3!}\right)x^3 + \left(c_4-{c_2 \over 3!}+{c_0 \over 5!}\right)x^4 + \cdots </math>
e dal confronto dei coefficienti delle successive potenze si ottiene un sistema illimitatamente estendibile di equazioni lineari che evidentemente consente di individuare la serie della funzione proposta.
== Voci correlate ==
* [[Teorema di Lagrange]]
* [[Serie]]
* [[Serie complessa]]
* [[Serie di potenze]]
* [[Serie di Laurent]]
* [[Funzione di matrice]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|b=Calcolo differenziale|commons=Category:Taylor series}}
== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html Taylor Series] in [[MathWorld]]
* {{en}} [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html Madhava of Sangamagramma] biography in [[MacTutor]]
* [http://www3.webng.com/goldoniluca/PhD/real/bernstein.pdf Il teorema di Bernstein]
* {{Thesaurus BNCF}}
* [http://www3.webng.com/goldoniluca/PhD/real/c%20infinito%20critico.pdf Un esempio critico di funzione reale non analitica di classe <math>
C^\infty \left(\mathbb R \right)
</math>]
{{analisi matematica}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Serie matematiche]]
{{Link VdQ|en}}
{{Link VdQ|ca}}
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