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Terza velocità cosmica: differenze tra le versioni

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Correzione sia formale che di contenuto ad un passaggio della dimostrazione. In particolare abbiamo sostituito il concetto di "raggio di Hill" a quello, inappropriato in tale contesto, di r tendente ad infinito.
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Indichiamo con <math>v</math> la velocità iniziale della nave rispetto alla Terra, con <math>v_{c}</math> la [[prima velocità cosmica]] e con <math>v_{p}</math> la [[seconda velocità cosmica]]. L'energia totale della nave è la somma di [[energia cinetica]] ed [[energia potenziale gravitazionale]], quindi:
:<math>E = \frac{1}{2}m v^{2} - G \frac{Mm}{r}</math>
dove ''M'' è la massa della Terra, ''m'' quella della nave e ''r'' la distanza tra i loro [[centro di massa|centri di massa]]. Per prima cosa, la nave deve lasciare la zona di attrazione terrestre: ciò si verifica quando <math>r \rightarrow \infty</math>, cioè= quando[[raggio di Hill]]. E' possibile dimostrare che a tale distanza dalla Terra l'[[energia potenziale]] siassume annullaun valore trascurabile rispetto a quello dell'[[energia meccanica]]. Sia <math>v_{\infty}v_H</math> la velocità della nave rispetto alla Terra quando lascia la zona di attrazione di quest'ultima. Allora:
:<math>\frac{1}{2}m v^{2} - G \frac{Mm}{r} = \frac{1}{2}m v_{\inftyH}^{2}</math>.
D'altra parte si sa che <math>v_{c}^{2} = GM/r</math>, quindi:
:<math>v^{2} - 2v_{c}^{2} = v_{\inftyH}^{2}</math>.
Passiamo ora nel sistema di riferimento del Sole.
 
Chiamiamo <math>\vec{V}</math> la velocità della nave rispetto al Sole quando lascia la zona di attrazione terrestre. È chiaro che:
:<math>\vec{V} = \vec{v}_{\inftyH} + \vec{v}_{Terra}</math>
dove compare la velocità della Terra rispetto al Sole. Questa velocità è circa uguale alla [[prima velocità cosmica]] (diciamo <math>\vec{V}_{c}</math>) rispetto al Sole, poiché la Terra ha un'[[orbita]] approssimativamente circolare. Allora:
:<math>\vec{V} = \vec{v}_{\inftyH} + \vec{V}_{C}</math>
e per una nota proprietà della [[vettore (matematica)|somma vettoriale]]:
:<math>V^{2} = v_{\inftyH}^{2} + V_{C}^{2} + 2 v_{\inftyH} V_{c} \cos{\theta}</math>
dove <math>\theta</math> è l'[[angolo]] formato dai vettori <math>\vec{v}_{\inftyH}</math> e <math>\vec{V}_{c}</math>, ovvero l'angolo tra la direzione del moto della nave rispetto alla Terra e la direzione del moto della Terra rispetto al Sole.
 
Se vogliamo che la nave lasci il Sistema Solare bisogna che la sua velocità (rispetto al Sole) sia almeno uguale alla [[seconda velocità cosmica]] (''[[velocità di fuga]]'') rispetto al Sole, che chiamiamo <math>\vec{V}_{p}</math>. Si sa che, in generale, la prima e la seconda velocità cosmiche sono legate dalla relazione:
:<math>V_{p} = V_{c} \sqrt{2}</math>.
In definitiva, si ottiene la seguente equazione nell'incognita <math>v_{\infty}</math>:
:<math>v_{\inftyH}^{2} + 2 V_{c} \cos{\theta} v_{\inftyH} - V_{c}^{2} = 0</math>
che ha una sola soluzione positiva, uguale a:
:<math>v_{\inftyH} = V_{c}(- \cos{\theta} + \sqrt{1 + (\cos{\theta})^{2}} \, )</math>
Riprendendo la relazione <math>v^{2} - 2v_{c}^{2} = v_{\inftyH}^{2}</math>, si trova per la '''terza velocità cosmica''':
:<math>v_{3}^{2} = V_{c}^{2}(- \cos{\theta} + \sqrt{1 + (\cos{\theta})^{2}} \, )^{2} + 2 v_{c}^{2}</math>
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Terza_velocità_cosmica"