Stabilità interna: differenze tra le versioni
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== Teoremi di Lyapunov ==
I
===Primo
Si consideri il sistema dinamico rappresentato dalla seguente [[equazione differenziale]]:
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:<math> f(x_0)=0</math>
dove il vettore di funzioni <math>\dot y</math> indica la [[derivata]] del vettore di funzioni <math>y</math>. Il punto di equilibrio <math>
Il risultato è analogo a quanto avviene per i sistemi lineari del tipo <math> \dot x = Ax </math>, per i quali la stabilità dipende dagli autovalori della matrice <math> A</math>, ed era
:<math> f(x) = f(x_0) + D f(x_0)(x - x_0) + O(x - x_0)^2 </math>
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Dunque si ottiene un sistema dinamico lineare (detto linearizzato), che approssima il comportamento del sistema non lineare in un intorno del punto di equilibrio. La dimensione dell'intorno dipende dalle caratteristiche del campo vettoriale ed è tanto maggiore, quanto maggiore è la possibilità di trascurare i termini di ordine superiore che compaiono nello sviluppo in serie. Il risultato è ottenuto per deduzione logica, ma non fu verificato che la stabilità del sistema linearizzato fosse legata al sistema non lineare di partenza fino all'avvento della teoria di Lyapunov.
=== Secondo
Facendo riferimento al sistema dinamico precedente, si consideri una funzione <math>V(x): \R^n \to \R</math> definita positiva e con derivata definita negativa:
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:<math> \dot{V}(x) \le 0 \quad \dot{V}(x_o) = 0 \qquad \forall{x}</math>
Allora <math>V(x)</math> è detta [[funzione di Lyapunov]] candidata e il sistema è asintoticamente stabile nel senso di
È semplice visualizzare questo metodo di analisi pensando ad un sistema fisico (ad esempio, una massa oscillante collegata a una molla) e considerando l'energia di questo sistema. Se il sistema perde energia nel tempo e l'energia non è mai rimpiazzata allora alla fine il sistema deve fermarsi in un determinato stato finale. Questo stato finale è definito [[attrattore]]. In generale, trovare una funzione che rappresenti esattamente l'energia di un sistema fisico può essere difficile, e per modelli matematici astratti, sistemi economici o biologici, il concetto di energia potrebbe non essere applicabile.
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