Stabilità interna: differenze tra le versioni

:<math>\dot{\mathbf x} = \mathbf f(\mathbf x(t)) \qquad \mathbf x(0) = \mathbf x_0</math>

con <math>\mathbf x(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n</math>, dove <math>\mathcal{D}</math> è un insieme aperto contenente l'origine, e <math>\mathbf f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n</math> una funzione [[continua]] su <math>\mathcal{D}</math>.

Sia <math>\mathbf x_0</math> un [[punto di equilibrio]], cioè <math> \mathbf f(\mathbf x_0)=\mathbf 0 </math>. Allora:

* Il punto di equilibrio <math>\mathbf x_0</math> è detto ''stabile'' (secondo Lyapunov), se per ogni [[intorno]] <math>U</math> del punto <math>\mathbf x_0</math> esiste un intorno <math>V \subset U</math> tale che le [[orbita (matematica)|orbite]] che partono da punti interni a <math>V</math> rimangono dentro <math>U</math> per tutti i tempi <math>t>0</math>.

:Esplicitamente, per ogni <math>\epsilon > 0</math> esiste <math>\delta = \delta(\epsilon) > 0</math> tale che, se <math>\|\mathbf x(0)- \mathbf x_0 \| < \delta</math>, allora per ogni <math>t \geq 0</math> si ha <math>\|\mathbf x(t)- \mathbf x_0 \| < \epsilon</math>.

* Il punto di equilibrio <math>\mathbf x_0</math> è detto ''attrattivo'' se esiste un [[intorno]] <math>U</math> di <math>\mathbf x_0</math> tale che per ogni orbita <math>\mathbf x(t)</math> che parta da un punto interno ad <math>U</math> si ha:

:<math> \lim_{t \to +\infty} \mathbf x(t)=\mathbf x_0</math>

:Il più grande intorno <math>U</math> per cui ciò avviene è chiamato ''bacino di attrazione'' del punto <math>\mathbf x_0</math>.

* Il punto di equilibrio <math>\mathbf x_0</math> è detto ''asintoticamente stabile'' se è stabile e attrattivo. Ovvero, esiste <math>\delta > 0</math> tale che se <math>\| \mathbf x(0)- \mathbf x_0 \|< \delta</math> allora <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \| \mathbf x(t)- \mathbf x_0\| = 0</math>.

* Un punto di equilibrio <math>\mathbf x_0</math> è detto ''esponenzialmente stabile'' se è asintoticamente stabile ed esistono <math>\alpha, \beta, \delta >0</math> tali per cui, se <math>\| \mathbf x(0)- \mathbf x_0 \| < \delta</math>, si ha:

:<math>\| \mathbf x(t)- \mathbf x_0\| \leq \alpha\| \mathbf x(0)- \mathbf x_0\|e^{-\beta t} \qquad t \geq 0</math>

* Un punto di equilibrio si dice ''instabile'' se non è stabile, ovvero se esiste un intorno <math>U</math> di <math>\mathbf x_0</math> tale che comunque si scelga un intorno <math>V</math> di <math>\mathbf x_0</math>, contenuto in <math>U</math>, si può sempre trovare una posizione iniziale <math>\mathbf x \in V</math> tale che l'orbita di <math>\mathbf x</math> si allontana da <math>\mathbf x_0</math> abbastanza da uscire da <math>U</math>.

Da un punto di vista geometrico, l'insieme dei punti che si avvicinano a <math>\mathbf x_0</math> (la cui orbita converge a <math>\mathbf x_0</math> per <math>t \to \infty</math>) è detto [[varietà stabile]], mentre per "varietà instabile" ci si riferisce all'insieme di quelli che si allontanano.

se esiste una funzione <math>V : \R \times D \to \R</math> di classe <math>C^1</math> definita positiva e con derivata orbitale <math>\dot V</math> definita negativa:

definita negativa, allora <math>\mathbf x_0</math> è stabile nel senso di Lyapunov.