Stabilità interna: differenze tra le versioni
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:<math>\dot \mathbf x = A \delta \mathbf x \qquad A = \frac{\partial \mathbf f} {\partial \mathbf x^T} |_{\mathbf x= \mathbf x_0}</math>
Il criterio di Lyapunov stabilisce che se il punto di equilibrio <math>\delta \mathbf x = \mathbf 0</math> del sistema linearizzato è asintoticamente stabile allora <math>\mathbf x_0</math> è un punto di equilibrio asintoticamente stabile del sistema non linearizzato, se <math>\delta \mathbf x = \mathbf 0</math> è instabile allora <math>\mathbf x_0</math> è un punto di equilibrio instabile del sistema non linearizzato, mentre se <math>\delta \mathbf x = \mathbf 0</math> è stabile non si può dire nulla del sistema non linearizzato.<ref>{{en}} [http://arrow.utias.utoronto.ca/~damaren/s2.pdf Christopher J. Damaren - Lyapunov Stability]</ref>
=== Secondo criterio di Lyapunov ===
{{vedi anche|funzione di Lyapunov}}
Una [[funzione continua]] <math>a(t, \mathbf x) : \R \times B \to \R</math>, supposta tale che <math>a(t , \mathbf 0) = \mathbf 0</math> per ogni <math>t \in \R</math>, è definita positiva in un intorno <math>B \subset \R^n</math> di <math>\mathbf 0</math> se esiste una [[funzione definita positiva]] <math>b(\mathbf x) : B \to \R</math>, cioè <math>b(\mathbf x)>0</math> per ogni <math>\mathbf x \in B \setminus \{ \mathbf 0 \}</math>, tale che:
:<math>a(\mathbf x,t) > b(\mathbf x) \qquad \forall \mathbf x \in B</math>
e analogamente se definita negativa. Si dice poi che <math>a(\mathbf x,t)</math> è semidefinita positiva in <math>B</math> se esiste una funzione semidefinita positiva <math>b(\mathbf x) : B \to \R</math>, cioè <math>b(\mathbf x) \ge 0</math> per ogni <math>\mathbf x \in B </math>, tale che:
:<math>a(\mathbf x,t) \ge b(\mathbf x) \qquad \forall \mathbf x \in B</math>
e analogamente se semidefinita negativa.
Dato un [[intorno]] <math>D \subset \R^n</math> del punto di equilibrio <math>\mathbf x_0</math> per il sistema:
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:<math>\dot V (\mathbf x) = \frac{\partial}{\partial t}V(\mathbf x) + \frac{\partial}{\partial \mathbf x_1}V(\mathbf x) f_1(\mathbf x) + \dots + \frac{\partial}{\partial \mathbf x_n}V( \mathbf x) f_n(\mathbf x) </math>
Il punto di equilibrio <math>\mathbf x_0</math> è asintoticamente stabile nel senso di Lyapunov se esiste inoltre una funzione <math>W : D \to \R</math> definita positiva tale per cui:<ref>{{en}} [https://www.math.byu.edu/~grant/courses/m634/f99/lec22.pdf Christopher Grant - Lyapunov's Direct Method]</ref>
:<math>V(t,\mathbf x) < W(\mathbf x) \qquad \forall (t,\mathbf x) \in \R \times D</math>
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== Esempio: l'oscillatore armonico ==
L'[[oscillatore armonico]] è un classico esempio utilizzato per chiarire i concetti di stabilità. Il sistema è costituito da una molla che da un lato è vincolata ad un piano e dall'altro è collegata ad una massa. Se si suppone che nel sistema non ci sia attrito, dopo aver compresso (o allungato) la molla, la massa inizierà ad oscillare per un tempo indefinito, senza mai fermarsi. Se si provano ad immaginare le traiettorie del sistema, queste oscilleranno intorno al punto di equilibrio: si tratta di un sistema stabile, e le traiettorie non si allontanano mai eccessivamente dal punto di equilibrio. Se si suppone che nel sistema sia presente attrito, le oscillazioni saranno smorzate e dopo un po' di tempo il sistema si arresterà nella posizione di riposo (di equilibrio). Dunque le traiettorie inizialmente oscilleranno in un intorno del punto di equilibrio, per poi arrestarsi nella posizione di equilibrio. Si tratta di un sistema asintoticamente stabile, le traiettorie non si allontanano mai eccessivamente e dopo un certo tempo convergono al punto di equilibrio, arrestandosi in esso.
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
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* {{springerEOM|titolo=Asymptotically-stable solution|autore= Yu.S. Bogdanov}}
*{{PlanetMath|asymptoticallystable|asymptotically stable}}
{{portale|controlli automatici|fisica|matematica}}
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