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Esplicitamente, dato un sistema lineare stabile, in cui il legame tra ingresso ed uscita è rappresentato da una [[equazione differenziale lineare]], applicando un segnale sinusoidale <math>u(t)=U_0 \sin (\omega t)</math> di ampiezza <math>U_0</math> e frequenza <math>\omega</math> si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale in uscita risulta sinusoidale e della stessa frequenza di quello d'ingresso, ovvero del tipo <math>y(t)=Y_0 \sin (\omega t+\phi)</math>. L'ampiezza <math>Y_0</math> e lo sfasamento <math>\phi</math> sono funzioni della frequenza. Il rapporto delle ampiezze <math>Y_0 (\omega) / X_0 (\omega)</math> è detto guadagno per la frequenza <math>\omega</math>.
Un sistema lineare di <math>n</math> stati <math>\mathbf x \in \R^n</math>, <math>m</math> input <math>\mathbf u \in \R^nm</math> e <math>q</math> uscite <math>\mathbf y \in \R^q</math> viene descritto da un'equazione del tipo:
:<math>\dot \mathbf x(t) = A \mathbf x(t)+B \mathbf u(t)</math>
:<math>\mathbf y(t) = C \mathbf x(t)+D \mathbf u(t)</math>
Il sistema è detto [[stabilità interna|stabile]] se tutti gli autovalori di <math>A</math> hanno parte reale negativa. Si dimostra che se l'ingresso è un'oscillazione del tipo <math>\mathbf u= \bar \mathbf u e^{stj \omega t} </math>, con <math>\bar \mathbf u \in \R^n</math> un vettore arbitrario, allora lasciando evolvere il sistema l'uscita ha la forma:
:<math>\lim_{t \to \infty} \mathbf y(t)= [D+C(sIj \omega I-A)^{-1} B] \bar \mathbf u e^{stj\omega t}</math>
dove <math>[D+C(sIj\omega I-A)^{-1} B]</math> è il fattore ([[Guadagno (elettronica)|guadagno]]) per il quale è stato amplificato l'ingresso. Si vede in questo modo che ad un'oscillazione complessa corrisponde una risposta oscillante della stessa frequenza.
Di particolare importanza sono i [[sistema dinamico lineare stazionario|sistemi lineari stazionari]], la cui la risposta non cambia nel tempo, e viene completamente descritta in frequenza dalla [[funzione di trasferimento]].
=== Teorema della risposta armonica ===
Il teorema della risposta armonica afferma che un sistema lineare e stazionario, sollecitato da un ingresso sinuisoidale di pulsazione <math>\omega</math>:
:<math>\ x(t)= A \sin(\omega t) = A \sin(2\pi f t)</math>
se asintoticamente stabile presenta a [[Regime sinusoidale|regime]] una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell'eccitazione con ampiezza pari al modulo della risposta in frequenza e differenza di fase pari alla fase della risposta in frequenza:
:<math>\ y(t)= |G(j \omega )| A \sin(2\pi f t + \angle G(j \omega )) </math>
dove <math>\ \angle G(j \omega ) </math> è la fase.
Infatti, la [[trasformata di Laplace]] del segnale di ingresso <math>\ x(t)= A \sin(\omega t)</math> è:
:<math>\ X(s)= \frac{A \omega}{(s^2+ \omega ^2)}</math>
mentre l'uscita, a partire da uno stato nullo, ammette una trasformata del tipo:
:<math>\ Y(s)=G(s)X(s)=G(s)\frac{A\omega}{s^2+\omega^2}=G(s)\frac{A\omega}{(s-j\omega)(s+j\omega)} </math>
I poli sono gli stessi della funzione di trasferimento più quelli corrispondenti al segnale in ingresso. Si nota antitrasformando che i primi corrispondono ad un termine transitorio <math> y_0(t) </math> mentre i secondi ad un termine permanente <math> y_p(t) </math> che, come si verificherà, è sinusoidale. Pertanto, la risposta si può scrivere come:
<math>\ y(t)=y_0(t)+y_p(t)=y_0(t)+K_1e^{j\omega t}+K_2e^{-j\omega t}</math>
In cui <math> K_1</math> e <math> K_2 </math> sono i residui dei poli <math> p_1, p_2 </math> relativi al segnale di ingresso:
:<math>\ K_1= \left[ \frac{G(s)A \omega}{s+j \omega}\right]_{s=j \omega}=\frac{A}{2j}G(j \omega) </math>
:<math>K_2=\left[\frac{G(s)A\omega}{s-j\omega}\right]_{s=-j\omega}=-\frac{A}{2j}G(-j\omega)</math>
La trasformata di Laplace soddisfa la relazione <math>\ F(s^*)=F^*(s) </math> pertanto si può scrivere:
:<math>G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\varphi (\omega)} \qquad G(-j\omega)=|G(j\omega)|e^{-j\varphi (\omega)}</math>
in cui si è posto <math> \varphi(\omega)=\angle(G(j\omega)) </math>. Una volta esaurito il transitorio si ottiene:
<math> y(t)\cong y_p(t)=|G(j\omega)|A\frac{e^{j(\omega t+\varphi(\omega))}-e^{-j(\omega t+\varphi(\omega))}}{2j}=|G(j\omega)|A\sin (\omega t+\varphi(\omega)) </math>
Pertanto il teorema è dimostrato.
=== Sistemi LTI ===
e la funzione di trasferimento è data da:
:<math>k(ij \omega) = \frac{b_m (ij \omega)^m + b_{m-1} (ij \omega)^{m-1} + \dots + b_0}{a_n (ij \omega)^n + a_{n-1} (ij \omega)^{n-1} + \dots + a_0}</math>
Si tratta della [[trasformata di Laplace]] della [[risposta impulsiva]] <math>h</math>, ovvero:
:<math>k(ij \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} \cdot h(t) \, dt</math>
:<math>h(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} k(ij \omega) e^{i\omega t} \, d\omega</math>
La risposta impulsiva e quella in frequenza sono dunque una la trasformata dell'altra.
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