Stabilità interna: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m smistamento lavoro sporco e fix vari |
|||
Riga 2:
L'analisi della stabilità interna di un sistema dinamico è di grande importanza nello studio dei fenomeni naturali, in cui ad una condizione di equilibrio stabile corrisponde un minimo dell'[[energia]] posseduta dal sistema, come conseguenza del fatto che esso tende spontaneamente a minimizzarla. Il [[teorema di Lagrange-Dirichlet]], che considera sistemi [[vincolo|olonomi]] soggetti a [[Forza conservativa|forze conservative]] e con vincoli perfetti (bilaterali) indipendenti dal tempo, stabilisce in particolare che l'[[energia potenziale]] ha un [[Massimo e minimo di una funzione|minimo relativo proprio]] quando il sistema assume una configurazione di [[equilibrio meccanico]] stabile (secondo Lyapunov).
[[
== Punti di equilibrio ==
[[
[[
Si consideri un [[sistema dinamico]]:
:<math>\dot{\mathbf x} = \mathbf f(\mathbf x) \qquad \mathbf x \in \R^n</math>
dove <math>\mathbf f: \mathcal{D} \subset \R^n \rightarrow \R^n</math> è una [[funzione lipschitziana]] in <math>\mathbf x</math> e [[Funzione continua|continua]] in <math>t</math>.
Sia <math>\mathbf x_0</math> un [[punto di equilibrio]], cioè <math> \mathbf f(\mathbf x_0)=\mathbf 0 </math>. Allora:<ref>{{en}}[http://www.clemson.edu/ces/crb/ece874/marquez/marquez_notes/slides_ch3.pdf Clemson University - Lyapunov Stability I: Autonomous Systems]</ref>
Riga 27:
===Attrattività e stabilità===
[[
Un punto di equilibrio stabile in generale non è attrattivo, e un punto di equilibrio attrattivo non è necessariamente stabile. La proprietà di stabilità è una proprietà locale, potendo essere osservata considerando intorni arbitrariamente piccoli del punto di equilibrio, mentre la proprietà di attrattività non lo è: anche se il bacino di attrazione è molto piccolo, o contiene intorni arbitrariamente piccoli, per verificare se un punto vi appartiene occorre seguire tutta la sua traiettoria che potrebbe allontanarsi arbitrariamente da <math>x_0</math>.
Riga 71:
:<math>a(t, \mathbf x) > b(\mathbf x) \qquad \forall \mathbf x \in B </math>
La definizione per una funzione delle variabili <math>(t, \mathbf x)</math> definita negativa si ottiene analogamente, rimpiazzando <math>></math> con <math><</math>.
Si dice che <math>a(t, \mathbf x)</math> è semidefinita positiva in <math>B</math> se esiste una funzione <math>b(\mathbf x) : B \to \R</math> semidefinita positiva (cioè <math>b(\mathbf x) \ge 0</math> per ogni <math>\mathbf x \in B </math>) tale che <math>b(\mathbf 0) = \mathbf 0</math> e:
Riga 118:
==Bibliografia==
* {{en}}A.M. Lyapunov, ''Stability of motion'' , Acad. Press (1966)
* {{de}} O. Perron, ''Ueber Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen'' Math. Z. , '''29''' (1928) pp.
* {{en}} R.E. Bellman, ''Stability theory of differential equations'' , Dover, reprint (1969)
* {{en}}Jean-Jacques E. Slotine and Weiping Li, ''Applied Nonlinear Control'', Prentice Hall, NJ, 1991
* {{en}}Parks P.C: "A. M. Lyapunov's stability theory - 100 years on", ''IMA Journal of Mathematical Control & Information'' 1992 9 275-303
*{{Cita libro|cognome= Teschl|nome= G.|titolo= Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems|editore=[[American Mathematical Society]]|città= [[
*{{Cita libro|cognome= Wiggins|nome= S.|titolo= Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos|edizione=2|editore=[[Springer Verlag]]|città= [[New York]]|anno= 2003| isbn= 0-387-00177-8|lingua= en}}
| |||