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Teorema di Noether: differenze tra le versioni

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Se dunque <math>L</math> non dipende esplicitamente dal tempo (<math>-\partial L / \partial t = 0)</math>) allora <math>H</math> si conserva (<math>dH / dt = 0</math>, ovvero <math>H=cost.</math>).
 
==Simmetrie dell'azione==
==Teoria dei campi==
Il teorema di Noether può essere enunciato considerando, in luogo delle simmetrie della lagrangiana, il funzionale integrale [[Azione (fisica)|azione]] <math>I</math>. Dato un vettore di [[funzione differenziabile|funzioni differenziabili]] <math>\boldsymbol\phi</math>, l'azione è data dall'integrale:
 
:<math>I = \int \mathcal L \left(\boldsymbol\phi,mathbf \partial_\mu{\boldsymbol\phi}q, x^\mumathbf \right)dot \q,t) d^4 xdt</math>
 
Si supponga che <math>I</math> è invariante rispetto alla trasformazione:
con <math>x^\mu</math> le coordinate [[spazio-tempo|spaziotemporali]]. Si può ottenere un'ulteriore generalizzazione ponendo che la lagrangiana dipenda non solo da <math>\boldsymbol \phi</math> e <math>\partial_\mu{\boldsymbol\phi}</math>, ma anche dalle derivate successive.
 
:<math>t \to \bar t(\mathbf q ,t,\lambda)</math>
Si supponga che la lagrangiana sia invariante rispetto ad un insieme di trasformazioni delle coordinate e dei campi:
:<math>q_i \to \bar q_i(\mathbf q ,t,\lambda) \qquad \mathbf q \to \mathbf \bar q (\mathbf q,t,\lambda) </math>
 
dove <math>\lambda</math> è un parametro continuo, ovvero si verifica:
:<math>x^{\mu} \rightarrow x^\mu + \delta x^\mu \qquad \boldsymbol \phi \rightarrow \boldsymbol \phi + \delta \boldsymbol \phi </math>
 
:<math>\int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf q, \mathbf \dot q,j) dj = \int_{t_1'}^{t_2'} L(\mathbf \bar q, \mathbf \dot \bar q,j) dj</math>
dove le trasformazioni possono essere indicizzate con <math>r = 1, 2, 3, \dots , N</math>:
 
dove gli estremi di integrazione variano durante la trasformazione. Considerando una variazione <math>\delta \lambda</math> infinitesima:
:<math>\delta x^\mu = \epsilon_r X^\mu_r \qquad \delta \boldsymbol\phi = \epsilon_r \boldsymbol\Psi_r</math>
 
:<math> \qquad \delta t = \bar t - t = A(\mathbf q , t) \delta \lambda \qquad \delta \mathbf q = \mathbf \bar q(\bar t ) -\mathbf q(t) = B(\mathbf q , t) \delta \lambda</math>
Per un tale sistema il teorema afferma che vi sono <math>N</math> densità di corrente conservate:
 
la quantità conservata è:
:<math>
j^\nu_r =
- \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\Psi_r +
\sum_{\sigma} \left[ \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_{,\sigma} - \mathcal L \delta^{\nu}_{\sigma} \right] X_{r}^{\sigma}
</math>
 
:<math> \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \dot q_i \right) A(\mathbf q , t) + \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} B(\mathbf q , t) = -H A(\mathbf q , t) + p_i B(\mathbf q , t)</math>
La [[legge di conservazione]] è data, nel caso quadridimensionale, dall'[[equazione di continuità]]:
 
dove <math>H</math> è detta [[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] e <math>p_i</math> è il momento coniugato alla coordinata <math>q_i</math>.<ref>[http://www-physics.ucsd.edu/students/courses/fall2010/physics110a/LECTURES/CH07.pdf www-physics.ucsd.edu - Noether’s Theorem]</ref>
:<math>\sum_\nu \frac{\partial j^\nu}{\partial x^\nu} = 0</math>
 
e mostra come ad un aumento della quantità conservata all'interno di una superficie sferica corrisponda un flusso (corrente) della quantità conservata attraverso la superficie stessa.
 
==Dimostrazione==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Noether"