Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m Bot: rimuovo template {{categorie qualità}} obsoleto (v. discussione) |
|||
Riga 46:
:<math>B = \{g \in X: \|g - y_0\|_{C^{0}} \leq b\}</math>
Essendo lo [[spazio (matematica)|spazio]] <math>X</math> [[Spazio completo|completo]], e <math>B \subseteq X</math> [[insieme chiuso|chiuso]], allora anche quest'ultimo risulta essere uno [[spazio completo]] rispetto alla [[metrica|metrica indotta]].
Si procede quindi definendo l'[[operatore (matematica)|operatore]] <math>F: B \to B</math>, detto "operatore di [[Vito Volterra|Volterra]]", tale che <math>F(y) = \widehat{y}</math>, dove:
:<math>\widehat{y} = y_0 + \int_{x_0}^x f (t,y(t))\mathrm{d}t</math>
Si nota innanzitutto che <math>F</math> è ben definito, ossia che <math>\forall y \in B</math> si ha <math>F(y) \in B</math>. Infatti:
:<math>|\widehat{y} - y_0| = \left|\int_{x_0}^xf(t,y(t))\mathrm{d}t\right| \leq \left|\int_{x_0}^x|f(t,y(t))\mathrm{d}t| \right|\forall x \in I_\delta</math>
Ma per ipotesi <math>|f(t,y(t))|\leq M</math>, da cui si deduce che:
Riga 188:
* {{en}} [[Vladimir Igorevich Arnold]] (1988): ''Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations'', 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-96649-8
* {{en}} [[Vladimir Igorevich Arnold]] (1992): ''Ordinary Differential Equations'', Springer, ISBN 3-540-54813-0
* {{fr}} G. Peano, ''Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires'' Math. Ann. , 37 (1890) pp.
* {{en}} I.G. Petrovskii, ''Ordinary differential equations'' , Prentice-Hall (1966) (Translated from Russian)
* {{en}} P. Hartman, "Ordinary differential equations" , Birkhäuser (1982)
Riga 211:
[[Categoria:Equazioni differenziali]]
[[Categoria:Teoremi|Esistenza e unicità per un problema di Cauchy]]
| |||