Limite di una successione: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], il '''limite di una successione''' è il valore a cui tendono i termini di una [[Successione (matematica)|successione]]. Se tale [[Limite (matematica)|limite]] esiste, la successione è convergente. Si tratta di un concetto fondamentale per la costruzione rigorosa (ma non eccessivamente astratta) dell'[[analisi matematica]].
Tramite la nozione di successione viene formalizzata rigorosamente l'idea intuitiva di "punto variabile che si avvicina arbitrariamente ad un punto dato". Tale "punto mobile" potrebbe "muoversi" nell'[[numero razionale|insieme dei numeri razionali]], sulla [[retta reale]], sul [[piano (geometria)|piano]] o anche (via via generalizzando) in uno [[spazio euclideo]], in uno [[spazio metrico]] o in uno [[spazio topologico]].
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== Definizioni ==
===Limite nella retta reale ===
Un [[numero reale]] <math> l </math> è il [[limite (matematica)|limite]] di una [[successione (matematica)|successione]] di numeri reali <math>\{a_n\} </math> se la distanza fra i numeri <math> a_n </math> ed <math> l </math> è arbitrariamente piccola quando <math> n </math> è [[sufficientemente grande]]. La distanza fra <math> a_n </math> ed <math> l </math> è data dal [[valore assoluto]] <math> |a_n - l |</math>.
In altre parole, <math> l </math> è il limite della successione se per ogni <math> \varepsilon > 0 </math> esiste un [[numero naturale]] <math> N </math> tale che <math> |a_n - l|<\varepsilon </math> per ogni <math> n > N </math>. In questo caso si scrive:<ref>È usata anche la scrittura abbreviata <math>\lim_n a_n</math>, che comunque non crea ambiguità o confusione in quanto nei numeri naturali l'unico [[punto di accumulazione]] è infinito e quindi l'unico limite che si può calcolare di una successione è proprio ad infinito, al contrario delle [[funzione di variabile reale|funzioni di variabile reale]]</ref>
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:<math>-1,\frac 1 2,-\frac 1 3, \frac 1 4,-\frac 1 5, \frac 1 6,\ldots </math>
D'altro canto, non è vero in generale che una successione <math> \{a_n\} </math> di termini positivi <math> a_n>0 </math> convergente debba avere un limite strettamente positivo <math> l > 0 </math>: ad esempio, la successione <math> a_n = 1/n </math> è fatta di termini positivi, ma converge a zero.
È però vero che una tale successione debba avere un limite <math> l \geq 0 </math>: se infatti avesse un limite negativo <math> l <0 </math>, per la permanenza del segno appena descritta dovrebbe avere infiniti termini negativi.
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:<math>|a_n - a_m | < \varepsilon \qquad \forall n,m > N</math>
Per il [[criterio di convergenza di Cauchy]], una successione di numeri reali è convergente se e solo se è di Cauchy.
La proprietà essenziale dei [[numeri reali]] che rende possibile questo fatto è la [[spazio completo|completezza]]. Infatti il criterio non vale per i [[numeri razionali]], che non sono completi: una successione di numeri razionali di Cauchy non è necessariamente convergente ad un numero razionale (ma lo è ad un numero reale). Ad esempio:
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==Collegamenti esterni==
* {{springerEOM|titolo=Limit|autore= L.D. Kudryavtsev }}
* {{
{{analisi matematica}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Successioni]]
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