Varianza: differenze tra le versioni

=== Proprietà ===

*La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume [[insieme trascurabile|quasi certamente]] un solo valore <math>x_0</math>, cioè se <math>P(X=x_0)=1</math>.

*Una formula alternativa per la varianza è

:<math>\sigma^2_X=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2\ </math>

per la [[trasformazione lineare|linearità]] del valore atteso si ottiene

:<math>\sigma^2_X=\mathbb{E}[X^2-2X\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[X]^2]=\mathbb{E}[X^2]-2\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[X]^2=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2\ </math>.

 

*La varianza è invariante per [[traslazione (geometria)|traslazione]], che lascia fisse le distanze dalla media, e cambia quadraticamente per [[omotetia|riscalamento]]:

quindi

:<math>\sigma^2_{aX+b}=\mathbb{E}[a^2(X-\mathbb{E}[X])^2]=a^2\sigma^2_X.</math>

 

*La varianza della somma di due [[variabili indipendenti]] o anche solo incorrelate è pari alla somma delle loro varianze

 

Nel caso generale basta traslare le variabili di modo che abbiano valore atteso nullo (come <math>X'=X-\mathbb{E}[X]</math>); la loro varianza non cambia.

 

*Usando le due precedenti affermazioni, possiamo dire che la varianza della differenza di due [[variabili indipendenti]] è pari alla somma delle loro varianze

:<math>\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_{X+(-Y)}=\sigma^2_X + \sigma^2_{-Y} = \sigma^2_X + \sigma^2_Y.</math>

 

*Se <math>X</math> e <math>Y</math> non sono indipendenti, la formula viene corretta dalla loro [[Covarianza (probabilità)|covarianza]],

dove

:<math>\sigma_{X,Y}=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].</math>

 

*In particolare, la [[media aritmetica]] <math>\textstyle \bar{X}=\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}</math> di <math>n</math> variabili aleatorie indipendenti aventi la medesima distribuzione, ha varianza aritmetica

 

== Collegamenti esterni ==

* {{Thesaurus BNCF}}