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Teorema delle intersezioni dimensionali: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], il '''teorema delle intersezioni dimensionali''' determina la [[Spazio affine#Giacitura|dimensione]] dello [[spazio affine]] risultante dall’intersezionedall'intersezione di due spazi di dimensione nota. Si applica a [[Spazio vettoriale|spazi vettoriali]] di qualsiasi dimensione, comprendendo anche gli spazi di dimensione inferiore alla terza, convenendo che il [[Piano (geometria)|piano]] sia uno spazio di dimensione <math>2</math>, la [[retta]] sia uno spazio di dimensione <math>1</math>, il [[Punto (geometria)|punto]] sia uno spazio di dimensione <math>0</math>.
 
Il teorema può risultare utile nella geometria oltre la terza dimensione, laddove le intersezioni risultano meno intuitive rispetto ai più consueti casi del piano e dello [[spazio tridimensionale]].
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Allo stesso modo, in uno spazio bidimensionale <math>xy</math>, una equazione del tipo <math>ax + by + c = 0</math> rappresenta una retta monodimensionale.
 
Ogni ulteriore equazione dello stesso tipo, aggiunta alla prima, riduce di uno il numero di dimensioni dell’entedell'ente geometrico rappresentato dal sistema dell'insieme delle equazioni.
 
In altre parole, in uno spazio cartesiano euclideo di dimensione <math>n</math>, un sistema di <math>g</math> equazioni del tipo
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:<math>g_q = n - q</math>
 
Intersecare due spazi significa considerare il sistema delle equazioni che li individuano. Non accade che ci siano equazioni [[Dipendenza lineare|linearmente dipendenti]] perché si sta supponendo che i due spazi non siano contenuti in uno spazio di dimensione minore di <math>n</math>. Per lo spazio di dimensione <math>m</math> risultante dall’intersezionedall'intersezione di due spazi dimensione <math>p</math> e <math>q</math> rispettivamente, sarà dunque:
 
:<math>g_m = g_p + g_q = (n - p) + (n - q) = 2n - p - q,</math>
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In uno spazio ''3D'' una retta ''1D'' interseca un [[cubo]] ''3D'' in un [[segmento]] ''1D'', infatti:<br />
<math>n=3 \qquad p=1 \qquad q=3 \qquad m = p + q - n = 1 </math><br />
* Se la retta è [[Tangente (geometria)|tangente]] ad una faccia ''2D'' del cubo ''3D'', l’intersezionel'intersezione sarà ancora un segmento ''1D'', infatti la faccia ''2D'' e la retta ''1D'' in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è ''2D'', quindi:
<math>n=2 \qquad p=1 \qquad q=2 \qquad m = p + q - n = 1 </math><br />
* Se invece la retta è tangente ad uno spigolo ''1D'' del cubo ''3D'', l’intersezionel'intersezione sarà un punto ''0D'', infatti lo spigolo ''1D'' e la retta ''1D'' in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è ''2D'', quindi:
<math>n=2 \qquad p=1 \qquad q=1 \qquad m = p + q - n = 0 </math><br />
 
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In uno spazio ''4D'' una retta ''1D'' interseca un cubo ''3D'' in un punto ''0D'', infatti:<br />
<math>n=4 \qquad p=1 \qquad q=3 \qquad m = p + q - n = 0 </math><br />
Il fatto che una retta possa attraversare un cubo ''3D'' intersecandolo solo in un punto non risulta per niente intuitivo. Per provare a comprenderlo può utilizzarsi un’analogiaun'analogia: per un essere ''2D'', che viva su un piano, risulterebbe altrettanto incomprensibile come una retta possa attraversare un quadrato intersecandolo solo in un punto, cosa del tutto evidente invece per un essere ''3D'' in uno spazio tridimensionale.<br />
 
 
Due oggetti della stessa dimensione dello spazio in cui sono immersi, si intersecano sempre in un oggetto della loro stessa dimensione. Risulterà infatti ''m = p + q – n = n + n – n = n''. Così nel nostro spazio ''3D'' due oggetti ''3D'' si intersecano in un oggetto tridimensionale e su un piano l’intersezionel'intersezione di due figure piane è ancora una figura piana.<br />
 
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_intersezioni_dimensionali"