Metodo delle tangenti: differenze tra le versioni
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Abbiamo determinato il nuovo intervallo <math>[x_0,b]</math> contenente la radice che stiamo cercando. Ripetendo il procedimento per <math>x_0</math> otteniamo una nuova approssimazione della radice (intersezione della seconda tangente con l'asse delle <math>x</math>)
:<math>x_1 = x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.</math>
Procedendo in modo iterativo si ottiene la [[relazione di ricorrenza]]
:<math>x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},</math>
che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione <math>y=f(x)=0</math>. Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle <math>x_n</math> converge alla radice piuttosto rapidamente.
Più in dettaglio, si dimostra che se <math>f \in C^2(I)</math> dove <math>I</math> è un opportuno intorno dello zero <math>\alpha</math> con <math>f'(\alpha) \neq 0</math> e se <math>x_0 \in I,</math> allora
:<math>
cioè la convergenza è ''quadratica'' (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché ''locale'' (cioè non vale per ogni <math>I</math>). Se invece la radice è multipla, cioè <math>f'(\alpha) = 0</math> allora la convergenza è ''lineare'' (più lenta). Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita <math>\tau</math>, il procedimento iterativo si fa terminare quando <math>\left| x_{n+1}-x_n \right| < \tau \cdot |x_{n+1}|.</math>▼
Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando <math>f'(x)</math> varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che <math>f'(x)</math> sia disponibile direttamente per un dato <math>x</math>. Nei casi in cui questo non si verifica e risulterebbe necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il [[metodo della secante]].▼
▲cioè la convergenza è ''quadratica'' (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché ''locale'' (cioè non vale per ogni <math>I</math>). Se invece la radice è multipla, cioè <math>f'(\alpha) = 0</math> allora la convergenza è ''lineare'' (più lenta).
▲Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando <math>f'(x)</math> varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che <math>f'(x)</math> sia disponibile direttamente per un dato <math>x</math>. Nei casi in cui questo non si verifica e risulterebbe necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il [[metodo della secante]].
== Storia ==
Il matematico francese [[François Viète]] presentò nel 1600<ref>[http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/13_deuflhard-peter.pdf]</ref> un metodo, già noto nel 1427 da [[al-Khasi]], per la ricerca degli zeri di un polinomio attraverso una perturbazione di una sua soluzione approssimata. Quattro anni dopo Newton venne a conoscenza del metodo di Vietè e nel 1669 scopre autonomamente un metodo per la ricerca degli zeri di un polinomio.
Come esempio mostra la seguente equazione <math> f(x)=x^3-2x-5=0 </math> una cui soluzione ha parte intera <math> x_0=2 </math>. Applicando la sostituzione <math> x=2+p </math> si ricava il polinomio <math> p^3+6p^2+10p-1=0 </math> e trascurando i monomi di grado superiore al primo, ossia linearizzando il polinomio, si ottiene <math> p=0,1 </math>. Per cui si applica la sostituzione <math> p=0,1+q </math> e si arriva a <math> q^3+6,3q^2+11,23q+0,661=0 </math> e per linearizzazione <math> q=0,0054 </math>. Sostituendo <math> q=0,0054+r </math> e facendo lo stesso ragionamento si ricava <math> r=0,00004853 </math>.
▲Da cui <math> x_3=x_0+p+q+r=2.09455147 </math>.
Si possono fare due osservazioni relative al metodo proposto:
# <math> p=x_1-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} </math> e <math> q=x_2-x_1=-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} </math> per cui il metodo trovato da Newton corrisponde al moderno metodo delle tangenti;
#
Nel 1687, nel [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]] Newton apllica per la prima volta il metodo ad un'equazione non polinomiale. E' il caso dell'equazione <math> x-
Nel 1690 il matematico [[Joseph Raphson]] riuscì a ricavare un metodo iterativo per aggiornare la soluzione approssimata <math> x_k </math> senza dover calcolare la potenza del monomio completa e nel 1740 [[Thomas Simpson]], nel libro 'Essays on Several Curious and Useful Subjects in Speculative and Mix's Mathematicks, Illustrated by a variey of Examples' ricavò il moderno metodo delle tangenti riconoscendo il ruolo delle dervate prime nell'aggiornamento della soluzione.
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