Differenze tra le versioni di "Automorfismo interno"

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Un '''automorfismo interno''' di un [[gruppo (matematica)|gruppo]] è un [[automorfismo]] indotto da un elemento ''<math>g''</math> del gruppo tramite [[Classe di coniugio|coniugio]], cioè un automorfismo nella forma
:<math>T_g(x)=g^{-1}xg</math>
per un elemento fissato ''<math>g''</math> del gruppo. UnInfatti automorfismoquesta che nonfunzione è internoun è[[omomorfismo]] detto[[iniettivo]] e [[automorfismosuriettivo]], esterno|esternoovvero un [[isomorfismo]].
 
Un automorfismo che non è interno è detto [[automorfismo esterno|esterno]].
Infatti questa funzione è un [[omomorfismo]] [[iniettivo]] e [[suriettivo]], ovvero un [[isomorfismo]]. Inoltre due elementi ''g'' ed ''h'' che appartengono allo stesso laterale del centro ''Z'' inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se ''g''=''hz'' con ''z'' nel centro allora <math>g^{-1}xg</math> = <math>z^{-1}h^{-1}xhz</math> = <math>h^{-1}xh</math>.
 
In un [[gruppo abeliano]] l'unico automorfismo interno è l'identità. Inoltre due elementi <math>g</math> ed <math>h</math> che appartengono allo stesso laterale del [[centro di un gruppo|centro]] <math>Z</math> inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se <math>g=hz</math> con <math>z</math> nel centro allora
:<math>g^{-1}xg</math> = <math>z^{-1}h^{-1}xhz</math> = <math>h^{-1}xh.</math>
 
L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con <math>\operatorname{Inn}(G)</math>, che è un [[sottogruppo normale]] del gruppo <math>\operatorname{Aut}(G)</math> degli automorfismi del gruppo <math>G</math>. Il gruppo <math>\operatorname{Inn}(G)</math> è [[isomorfismo|isomorfo]] al [[gruppo quoziente]] <math>G/Z(G)</math>, dove <math>Z(G)</math> è il [[centro di un gruppo|centro]] di <math>G</math>.
 
Nel [[gruppo simmetrico]] su ''<math>n''</math> elementi, se ''<math>n'' è diverso da\ne 6</math>, tutti gli automorfismi sono interni.
 
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