Proiezione (geometria): differenze tra le versioni
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[[Immagine:Projection orthogonale illustration.svg|thumb|right|La proiezione ortogonale di un [[cubo]] su un piano verticale.]]
In [[algebra lineare]] e [[analisi funzionale]], una '''proiezione''' è una [[trasformazione lineare]] <math>P</math> definita da uno [[spazio vettoriale]] in sé stesso ([[endomorfismo]]) che è [[Idempotenza|idempotente]], cioè tale per cui <math>P^2=P</math>: applicare due volte la trasformazione fornisce lo stesso risultato che applicandola una volta sola (dunque l'[[Immagine (matematica)|immagine]] rimane inalterata).
Nonostante la definizione sia piuttosto astratta, si tratta di un concetto matematico simile (e in qualche modo legato) alla [[proiezione cartografica]].
== Proiezione ortogonale ==
[[Immagine:Orthogonal projection.svg|thumb|right|La trasformazione ''P'' è una proiezione ortogonale sulla retta ''m''.]]
=== Nel piano cartesiano o nello spazio ===
In uno [[spazio euclideo]], come ad esempio il [[piano cartesiano]] o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato [[sottospazio affine|sottospazio]] <math> m </math> (ad esempio, una [[retta]] o un [[piano (geometria)|piano]]) è una [[funzione (matematica)|funzione]] <math> P </math> che sposta ogni punto dello spazio su un punto di <math> m </math> lungo una direzione [[perpendicolare]] ad <math> m </math>.
Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle [[ascisse]] è la funzione:
:<math> (x,y) \mapsto (x,0) </math>
e la proiezione sulle [[ordinate]] è la funzione
:<math> (x,y) \mapsto (0,y) </math>
=== In uno spazio vettoriale ===
Se <math> S </math> è un [[sottospazio vettoriale]] dello [[spazio euclideo]] <math> n </math>-dimensionale <math> \R^n </math>, la proiezione ortogonale su <math> S </math> è definita ponendo:
:<math> B = (\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k,\mathbf v_{k+1},\ldots,\mathbf v_n) </math>
una [[base ortonormale]] per lo spazio euclideo, i cui primi <math> k </math> vettori sono una base per <math> S </math>. Scrivendo i vettori attraverso i vettori delle loro [[coordinate di un vettore|coordinate]] rispetto alla base <math> B </math>, la proiezione su <math> S </math> è la funzione:
:<math> (\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,\mathbf x_{k+1},\ldots,\mathbf x_n) \mapsto (\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_k,0,\ldots,0) </math>
In modo equivalente, se <math>\mathbf v</math> e <math>\mathbf w</math> sono vettori di <math> \R^n </math> e <math>{\langle , \rangle}</math> il [[prodotto scalare]] standard, si definisce proiezione di <math>\mathbf v</math> lungo <math>\mathbf w</math> il vettore <math>c \mathbf w</math>, dove il numero:
:<math>c = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle\over\langle \mathbf{w}, \mathbf{w}\rangle} </math>
è detto ''coefficiente di Fourier''. I vettori <math>\mathbf v - c\mathbf w</math> e <math>\mathbf w</math> sono allora perpendicolari.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 152|lang}}</ref>
== Operatore e matrice di proiezione ==
Un [[endomorfismo]] <math> f:V\to V </math> di uno spazio vettoriale <math> V </math> è un ''operatore di proiezione'' se è [[idempotenza|idempotente]], cioè se <math> f\circ f = f </math>. Gli endomorfismi definiti sopra quindi sono tutti proiezioni.
Analogamente, una [[matrice quadrata]] <math> P </math> è una matrice di proiezione se <math>P^2 = P </math> (dove si fa uso del [[prodotto fra matrici]]). Ad esempio:
:<math> P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math>
è una matrice di proiezione.
Questa nozione è strettamente collegata a quella di operatore di proiezione, poiché ogni matrice <math>n\times n</math> [[matrice associata|rappresenta]] un endomorfismo di <math>\R^n </math>. In particolare, la <math>P </math> appena descritta rappresenta la proiezione ortogonale sul piano orizzontale <math> z=0 </math>:
:<math> P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}</math>
Le matrici seguenti rappresentano proiezioni ortogonali del piano <math> \R^2 </math> su una retta:
:<math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta\\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\
\end{bmatrix}
</math>
La matrice seguente rappresenta una proiezione non ortogonale sulla retta delle ascisse, simile alla <math> T </math> descritta sopra in figura:
:<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} </math>
=== Proprietà ===
Se <math> P, P_1, P_2 </math> sono operatori o matrici di proiezione, valgono le proprietà seguenti:
* <math> P^n = P </math> per ogni numero naturale <math> n > 0 </math>.
* Gli [[autovalore|autovalori]] possibili di <math> P </math> sono +1 e 0.
* Se <math>P_{1}</math> e <math>P_{2} </math> "si annullano a vicenda", cioè <math>P_{1}P_{2}= P_{2}P_{1}= 0</math>, allora la loro somma <math>P = P_{1} + P_{2}</math> è ancora un operatore (o matrice) di proiezione.
* Il nucleo e l'immagine di una proiezione sono in somma diretta.
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}
* {{Cita libro|nome1=N. |cognome1=Dunford |nome2= J. T.|titolo=Linear Operators, Part I: General Theory|editore= Interscience|anno= 1958|cognome2=Schwartz|lingua=en}}
* {{Cita libro|nome=Carl D.|cognome= Meyer|url=http://www.matrixanalysis.com/ |titolo=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra|editore=Society for Industrial and Applied Mathematics|anno= 2000| isbn= 978-0-89871-454-8|lingua=en}}
==Voci correlate==
* [[Idempotenza]]
* [[Metodo di Monge]]
* [[Prospettività]]
* [[Proiezione cilindrica equidistante]]
* [[Proiezione di Mercatore]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|commons=Category:Graphical projection}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Thesaurus BNCF}}
* {{springerEOM|titolo=Projector|autore= M.I. Voitsekhovskii}}
* {{springerEOM|titolo=Projection|autore= A.B. Ivanov }}
* {{en}}[http://www.youtube.com/watch?v=osh80YCg_GM&feature=PlayList&p=38823D6325151CED&index=16 MIT Linear Algebra Lecture on Projection Matrices] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* {{en}}[http://www.mtsu.edu/~csjudy/planeview3D/tutorial.html Planar Geometric Projections Tutorial] - a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.
* {{en}} Thomas Craig (1882) [http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABR2552.0001.001?rgn=works;view=toc;rgn1=author;q1=Craig A Treatise on Projections] from [[University of Michigan]] Historical Math Collection.
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Trasformazioni geometriche]]
[[Categoria:Operatori lineari]]
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